Tengo problemas para entender algunas de las sutilezas de trabajar con bras y kets cuando se considera el oscilador cuántico estándar 1-D.
Digamos que me dan un vector de estado en $t=0$ , $$|\Psi(t=0)\rangle = A \sum_{q=0}^{Q_o} \frac{1}{q+i}|\phi_q\rangle$$
Donde $Q_o$ es un número entero finito positivo.
Me dan el operador del número $$\hat{N}|\phi_q\rangle = q|\phi_q\rangle$$ donde $\hat{N} = \hat{a}^\dagger\hat{a}$ y los valores propios de energía del oscilador cuántico se conocen como $$E_q = (q+\frac{1}{2})\hbar\omega_o$$ para $q = 0,1,2,3....$
Ahora, se me pide que responda a las siguientes preguntas sobre el vector estatal $|\Psi(t=0)\rangle$ :
[1]
Encuentre una ecuación para $A$ que normaliza el vector de estado $|\Psi(t=0)\rangle$
En la mecánica ondulatoria, el coeficiente de normalización se suele encontrar haciendo que $\int|\Psi|^2 dx = 1$ para todo el espacio, y luego resolver el coeficiente dentro de $\Psi$ .
Si voy a dejar que $Q_o = 100$ , $$|\Psi(t=0)\rangle = |\Psi(0) \rangle = A \sum_{q=0}^{100} \frac{1}{q+i}|\phi_q\rangle$$
Sé que un vector de estado normalizado seguirá $$\langle \Psi(t)|\Psi(t)\rangle = 1$$
Así que si tengo $$\langle \Psi(0)| = (|\Psi(0)\rangle)^* = A^*\sum_{q=0}^{100} \frac{1}{q-i}\langle\phi_q|$$
entonces, $$\langle \Psi(0)|\Psi(0)\rangle = (A^*\sum_{q=0}^{100} \frac{1}{q-i}\langle\phi_q|)(A \sum_{q=0}^{100} \frac{1}{q+i}|\phi_q\rangle)=1$$
Ahora bien, si $A = A^*$ ¿estoy en condiciones de afirmar que $$A^2\sum_{q=0}^{100}\sum_{q=0}^{100}\frac{1}{q+i}\frac{1}{q-i}\langle\phi_q|\phi_q\rangle = 1$$
donde $$\langle\phi_q|\phi_q\rangle = \langle q|\hat{N} |q\rangle = q\langle q|q\rangle = q$$ (como $\langle q|q\rangle = 1$ debido a la ortonormalidad), y luego resolver para $A$ ?
¿O estoy terriblemente equivocada en cuanto a cómo funcionan los sujetadores y los kets?
De lo que tengo hasta ahora, obtendría que $$A^2\sum_{q=0}^{100}\sum_{q=0}^{100}\frac{q}{(q+i)(q-i)} = 1$$ y $$A = \sqrt{\sum_{q=0}^{100}\sum_{q=0}^{100}\frac{(q+i)(q-i)}{q}}$$
Espero que alguien pueda aclarar mis malentendidos aquí..
[2]
Evaluar $\langle \phi_q|\hat{N}$
¿Puedo simplemente afirmar aquí que $$\langle \phi_q|\hat{N} = \sum_{q}N_{p,q}\langle \phi_q| = \sum_{q}N_{p,q}\langle q|\hat{a}^\dagger$$
donde $N_{p,q}$ son los elementos de la matriz del operador numérico $\hat{N}$ ?
No sé muy bien con qué se supone que debo terminar como respuesta o proceder más allá para trabajar con la suma producida, siempre y cuando sea correcta.
[3]
¿Cuál es el vector de estado para los tiempos $t \geq 0$ y el valor esperado para $\hat{a}^\dagger$ para estos tiempos?
A mi entender, simplemente puedo añadir la dependencia del tiempo al vector de estado original. Por ejemplo, $$|\Psi(t)\rangle = |\phi_q\rangle e^{\frac{-iE_qt}{\hbar}}$$
entonces, el valor de la expectativa $\hat{a}^\dagger$ simplemente ser $$\langle \Psi(t)|\hat{a}^\dagger|\Psi(t)\rangle$$
No estoy seguro de cómo calcular realmente este valor de expectativa, pero mirando mis notas, veo que $$\langle p|\hat{a}^\dagger|q\rangle = \sqrt{q+1}\delta_{p,q+1}$$
¿Significa esto que puedo escribir $$\langle \hat{a}^\dagger\rangle = \langle \phi_q e^{-i\omega_o t}|\hat{a}^\dagger|\phi_q e^{-i\omega_o t}\rangle = \sqrt{q+1}e^{-i\omega_o t}$$ ?
Perdón por lo extenso de la pregunta, pero espero que facilite saber en qué me estoy equivocando en el planteamiento de estos problemas. Gracias.
