Demuestra esta proposición relativa a una teoría con ∀∃-axiomatización

Question

Configurar

Una teoría $\pmb{T}$ tiene un $\forall\exists$ -si se puede axiomatizar mediante sentencias de la forma $$\forall v_1\ldots \forall v_n \exists w_1 \ldots \exists w_n ~~ \phi(\bar{v},\bar{w})$$ donde $\phi$ es un cuantificador libre $\mathcal{L}$ -fórmula.

Además, supongamos que siempre que $(\mathcal{M}_i : i \in \mathbb{I})$ es una cadena de modelos de $\pmb{T}$ entonces $$\mathcal{M} = \bigcup \mathcal{M}_i \models \pmb{T}.$$ Dejemos que $\Gamma = \{ \phi : \phi \text{ is a $ \para todo lo que existe $-sentence and $ \pmb{T} \modelos \phi $}\}$ . Sea $\mathcal{M} \models \Gamma$ .

Por último, supongamos que hay $\mathcal{N} \models \pmb{T}$ de manera que si $\psi$ es un $\exists\forall$ -sentencia y $\mathcal{M} \models \psi$ entonces $\mathcal{N} \models \psi$ .

Ahora me gustaría mostrar que hay $\mathcal{N}' \supseteq \mathcal{M} $ con $\mathcal{N}' \equiv \mathcal{N}$ .

Problema

1. En primer lugar, no estoy seguro de si la suposición es que $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}'$ ? Supongo que como siempre se puede crear una extensión, entonces $\mathcal{N}'$ ¿se supone que existe?

2. Supongamos que mi presunción es correcta por lo que $\mathcal{N}'$ existen, sino como una extensión de $\mathcal{M}$ no es necesario que satisfaga las mismas sentencias, ¿verdad? Entonces, ¿por qué es cierto que $\mathcal{N}' \equiv \mathcal{N}$ ?

3. Por último, si estoy leyendo la proposición totalmente mal, y en cambio sólo tengo que mostrar/construir algún $\mathcal{N}'$ para que $\mathcal{N}' \equiv \mathcal{N}$ ¿Cómo podría hacer una construcción de este tipo?

Answer 1

Por favor, disculpen mi bárbara notación y terminología; hace años que no me siento en una clase de lógica. Voy a esbozar una prueba del hecho de que, si $\mathcal M,\mathcal N$ son modelos tales que toda sentencia existencial que se cumple en $\mathcal M$ también se mantiene en $\mathcal N$ entonces hay un modelo $\mathcal N'$ tal que $\mathcal M$ es isomorfo a un submodelo de $\mathcal N'$ y $\mathcal N$ es isomorfo a un elemental submodelo de $\mathcal N'$ .

Dejemos que $U$ sea la teoría de primer orden de $\mathcal N$ en un lenguaje expandido que tiene un símbolo constante para cada elemento de $\mathcal N$ . Así, cualquier modelo de $U$ (más precisamente, su reducto al lenguaje original) contendrá una copia isomorfa de $\mathcal N$ como un submodelo elemental.

Dejemos que $Q$ sea el sin cuantificador teoría de la $\mathcal M$ en un lenguaje expandido que tiene un símbolo constante para cada elemento de $\mathcal M$ . Así, cualquier modelo de $Q$ contendrá un submodelo isomorfo a $\mathcal M$ .

Dado que cualquier modelo $\mathcal N'$ de $U\cup Q$ hará lo que queramos, lo único que nos queda por demostrar es que $U\cup Q$ es consistente. Por el teorema de la compacidad, bastará con demostrar que $U\cup Q'$ es consistente para cada finito set $Q'\subseteq Q$ . Esto se desprende de la hipótesis de que toda sentencia existencial que se sostiene en $\mathcal M$ también se mantiene en $\mathcal N$ . [*]

P.D. En virtud del teorema de Keisler-Shelah (los modelos elementalmente equivalentes tienen ultrapoderes isomórficos) la afirmación puede reforzarse para que diga: si toda sentencia existencial que se sostiene en $\mathcal M$ también se mantiene en $\mathcal N$ entonces $\mathcal M$ es isomorfo a un submodelo de una ultrapotencia de $\mathcal N$ .

[*] Considere un conjunto finito $Q'\subseteq Q$ . Al formar una conjunción, podemos suponer que $Q'$ consiste en una única frase cuantificadora $\varphi(c_1,\dots,c_n)$ , donde $c_1,\dots,c_n$ son constantes en el lenguaje expandido para $\mathcal M$ . Desde $\varphi(c_1,\dots,c_n)$ tiene en $\mathcal M$ , también lo hace el semtemce existencial $\exists x_1,\dots,x_n)\varphi(x_1,\dots,x_n)$ de la lengua original. De ahí la frase $\exists x_1,\dots,x_n)\varphi(x_1,\dots,x_n)$ también se mantiene en $\mathcal N$ . Por lo tanto, las constantes $c_,\dots,c_n$ se pueden asignar valores en $\mathcal N$ para satisfacer $\varphi(c_1,\dots,c_n)$ , demostrando que $U\cup Q'$ es consistente.