Respuesta a ¿Hay números más irracionales que otros?
Las demás respuestas y comentarios son fascinantes, en particular sobre la medida de la irracionalidad, pero permítanme dar un poco más de información en la línea de de la respuesta de Mark Sapir mencionando que hay varias jerarquías de complejidad muy grandes e intensamente estudiadas para números reales. Después de las nociones familiares iniciales vienen varias otras...
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racional
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algebraico
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computable
Los reales computables son aquellos para los que podemos calcular aproximaciones racionales con cualquier precisión deseada, mediante máquinas de Turing de Turing. (Un concepto utilizado en computable análisis .) Los subconjuntos computables de $\mathbb{N}$ son aquellos para los que podemos calcular sí/no respuestas para la adhesión en un tiempo tiempo finito. Por ejemplo, todos los números que menciona en la pregunta, como $\pi$ y $e$ son computables.
- enumerable computacionalmente
Los subconjuntos c.e. de $\mathbb{N}$ son aquellos para los que existe existe un procedimiento de enumeración computable. De forma equivalente, se puede puede calcular el sí respuestas para la adhesión en un tiempo tiempo finito. El concepto de computabilidad relativa (de oráculo) conduce a la jerarquía de Turing grados , que mide la complejidad computable comparativa de un real.
Un verdadero $x$ es aritmética si sus dígitos pueden ser definidos por una definición que implique sólo la cuantificación sobre los números naturales y operaciones primitivas. Equivalentemente, los subconjuntos aritméticos de $\mathbb{N}$ surgen de los subconjuntos computables de $\mathbb{N}^k$ por proyección y complemento. El aritmética jerarquía se divide naturalmente en niveles, como $\Sigma^0_n$ y $\Pi^0_n$ correspondiente a la complejidad lógica de estos definiciones, y estos niveles son refinados por los grados de Turing grados. Por ejemplo, el conjunto de programas de la máquina de Turing $p$ que computan las funciones totales forman un completo $\Pi^0_2$ conjunto. La noción relativizada conduce a los grados aritméticos.
Un verdadero es hiperaritmética si se puede definir mediante dos definiciones equivalentes, una con un solo cuantificador universal cuantificador universal sobre los reales y otra con un solo cuantificador cuantificador existencial sobre los reales, y por lo demás cualquier nivel de cuantificadores aritméticos. Esto es lo mismo que $\Delta^1_1$ . El hiperaritmética jerarquía se estratifica en una jerarquía de longitud $\omega_1^{CK}$ , a versión ligera de la jerarquía de Borel, en la que se utilizan uniones y complementos contables uniformemente computables. La noción relativizada de noción relativizada conduce a los grados hiperaritméticos, un análogo hiperaritmético de los grados de Turing.
Un verdadero es proyectiva si se puede definir mediante una descripción que cuantifica sólo sobre el conjunto de los números reales números reales, más la cuantificación de los números naturales y las operaciones primitivas. La página web proyectiva jerarquía se estratifica considerando la complejidad lógica de estas definiciones, con niveles $\Sigma^1_n$ y $\Pi^1_n$ . Por ejemplo, los conjuntos analíticos de cara a la luz son $\Sigma^1_1$ y co-analítica es $\Pi^1_1$ siendo la hiperaritmética $\Delta^1_1=\Sigma^1_1\cap\Pi^1_1$ .
Un verdadero es construible si existe en la universo construible $L$ . El concepto de constructibilidad relativa da lugar a los grados de constructibilidad, por los que $x\sim y\leftrightarrow L[x]=L[y]$ formando una rica jerarquía.
Un real (o conjunto) es ordinal definible si existe una definición de la misma en el lenguaje de la teoría de conjuntos utilizando parámetros ordinales. Por ejemplo, el real cuyo $n^{th}$ dígito binario es $1$ por si acaso $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+1}$ es definible ordinalmente. La clase HOD de todos los conjuntos definibles hereditariamente ordinales satisface ZFC, pero puede ser estrictamente menor que el universo de todos los conjuntos.
Un verdadero es genérico en $L$ (o algún otro universo fijo $V$ ) si existe en una extensión forzada de $L$ (o $V$ ) por forzamiento del conjunto. Por supuesto, es relativamente consistente con ZFC que todo real es genérico sobre $L$ ya que esto es cierto en $L$ pero bajo algunos axiomas cardinales grandes, hay son reales, como $0^\sharp$ que no puede ser añadido por forzando sobre $L$ .
Los niveles superiores de estas últimas jerarquías están estratificadas por la enorme variedad de modelos de la teoría de conjuntos que surgen de los grandes cardinales, diversas construcciones de modelos internos, extensiones forzadas, etc., de modo que la jerarquía pierde su naturaleza lineal, convirtiéndose en una densa jungla de varios conceptos de la teoría de conjuntos que interactúan.
