Zeta-función de regularización de los factores determinantes y las huellas

Question

La respuesta a mi pregunta puede ser un puntero a la derecha del texto. Voy a dar todo el fondo yo sé, y, a continuación, pedir a mis preguntas en forma de lista.

Dejar que Un ser un operador (en un infinito-dimensional espacio vectorial). Se podría asumir que su espectro es todo real y positivo. De hecho, sólo me importa cuando el espectro es discreto y crece exponencialmente, pero he oído que esto funciona de manera más general.

En general, Una no es de traza de clase (la suma de los autovalores converge) o el determinante de la clase (el producto de los valores propios converge) — si el nth autovalor crece a medida que n^p para algunos p>0, entonces no va a ser. Pero hay un procedimiento para tratar de definir un "seguimiento" y "determinante" de Un sin embargo.

Esperemos que por lo suficientemente grande s, los operadores de Una^-s (=exp(-s de registro de Una), y el registro de Un sentido si el espectro de Una es positiva) se traza la clase. Si es así, entonces podemos definir ζ_Una(s) = tr(Una^-s); es analítico para Re(s) lo suficientemente grande. Esperemos que tenga un valor único de meromorphic continuación y que esta función (de la que hablaré también llamada ζ_Una(s)) es suave cerca de s=0 y s=-1. Todas estas esperanzas se mantienen cuando los autovalores de Una a crecer exponencialmente, de donde ζ_Una(s) puede ser comparada a la de Riemann zeta función.

Entonces, podemos definir la "regularización de la traza" TR UN = ζ_Un(-1) y la "regularización de la determinante DET UN = exp(-ζ_Un'(-1)), donde por ζ_Un'(s) me refiero a la derivada de ζ_Una(s) con respecto a s. (Si los autovalores λ_n son discretos, a continuación, ζ_Una(s) = Σ λ_n^-s, y así uno tendría TR UN = Σ λ_n y DET UN = Σ (registro λ_n) λ_n^-s |_s=0, si se estrechaban.) Si Una traza es- (determinante-) de la clase, entonces TR UN = tr UN (DET UN = det Una).

Así que, aquí están mis preguntas:

1. Es cierto que exp TR UN = DET exp Una?
2. Vamos a Un(_t_) ser un suave familia de operadores (t es una variable real). Es cierto que d/dt [ log DETONANTE de UN(_t_) ] = TR( A^-1 dUn/dt )? (Puedo probar esto cuando Un^-1dUn/dt es el seguimiento de la clase.)
3. Es DET multiplicativo, de modo que DET(AB) = DET UN DET B? (Puedo demostrar esto mediante 1. y 2., o el uso de la parte de 2. que puedo probar que si B es un factor determinante de la clase.)
4. Es TR cíclico, es decir, TR(AB) = TR(BA)?
5. Es TR lineal, es decir, TR(UN + B) = TR UN + TR B?

Ninguno de estos son incluso obvio para mí cuando Un y B (o dUn/dt) son simultáneamente diagonalizable (excepto, por supuesto, la ciclicidad), pero, por supuesto, en general no conmutan.

Answer 1

Voy a responder algunas de mis preguntas en forma negativa.

3. Primero, considere el caso de un reescalado de un operador de Un por algunos (positivo) número λ. A continuación, ζ_λUna(s) = λ^-sζ_Una(s), y así TR λUn = λ TR UNA. Esto es todo bien y bueno. ¿Cómo funciona el factor determinante comportarse? Definir el "percibido la dimensión" DIM UN ser de registro_λ[ (DET λUN)/(DET UN) ]. Entonces es fácil ver que DIM UN = ζ_Un(0). Lo que esto significa es que DET λUn = λ^ζ_UN(0) DET UNA.

Esto es todo bien y bueno si la percepción de la dimensión de un espacio vectorial no depende de Una. Por desgracia, no. Por ejemplo, la zeta de Hurwitz funciones z(s,m) = Σ₀^∞(n+m)^-s (-μ no en N) surgen de forma natural como la zeta funciones de los operadores diferenciales — por ejemplo, como el operador x(d/dx) + μ en el espacio de (nice) de las funciones de R. Uno puede buscar los valores de esta función, por ejemplo, en Elizalde, et al. En particular, z(0,m) = 1/2 - μ. Por lo tanto, vamos a Un y B ser dos de estos operadores, con ζ_Un = z(s,a) y z_B = z(s,β). Para genéricos α y β, y proporciona Un y B conmutan (por ejemplo, la propuesta de los operadores diferenciales), entonces DET AB existe. Pero si DET fueron multiplicativo, entonces:

DET(λAB) = DET(λA) DET(B) = λ^{1/2 - α} DET a DET B

pero un cálculo similar daría λ^{1/2 - β} DET a DET B.

Esto demuestra que el DETONANTE no es multiplicativo.

1. Mi respuesta negativa a 1. no es tan satisfactorio, pero está bien. Considere la posibilidad de un operador de Una (por ejemplo, x(d/dx)+1) con autovalores 1,2,..., y así zeta función de la Reimann función z(s). Entonces TR UN = ζ(-1) = -1/12. Por otro lado, exp Una tiene los autovalores e, e², etc., y así zeta función ζ_{exp Una}(s) = Σ e^-ns = e^-s/(1 - e^-s) = 1/(e^s-1). Esto tiene un polo en s=0, y entonces DET exp Un = lim_s→0 e^s/e^s-1)² = ∞. Así que la pregunta 1. es inútil, en el sentido de que Una podría ser zeta-función regularizable exp pero Una no. No tengo un contraejemplo cuando todas las funciones zeta dar finito de valores.

5. Como en mi respuesta a 3. anteriormente, voy a seguir para considerar la Hurwitz función z(s,a) = ∑_n=0^∞ (n+_a_)^-s, que es la función zeta correspondiente, por ejemplo, para el operador x(d/dx)+una, y consideramos el caso cuando un no es un valor no positivo entero. Uno puede mirar para arriba especiales diferentes valores de (la continuación analítica) de la Hurwitz función, por ejemplo, ζ(-m) = -B_m+1(un)/(m+1), donde B_r es el _r_th de Bernoulli polinomio.

En particular,

TR(x(d/dx)+un) = -z(-1,un)/2 = -un²/2 + un/2 - 1/12

ya que, por ejemplo (de Wikipedia):

B₂(un) = ∑_n=0² 1/(n+1) ∑_k=0ⁿ (-1)^k {n \elegir k} (un+_k_)² = un² - un + 1/6

Por lo tanto, considere la posibilidad de que el operador 2_x_(d/dx)+un+_b_. Por un lado:

TR(x(d/dx)+un) + TR(x(d/dx)+b) = -(un²+b²)/2 + (un+_b_)/2 - 1/6

Por otro lado, TR es "lineal" cuando se trata de la multiplicación por el positivo de reales, y así:

TR(2_x_(d/dx)+un+_b_) = 2 TR(x(d/dx) + (un+_b_)/2) = -(un²+2_ab_+b²)/4 + (un+_b_)/2 - 1/6

En particular, hemos TR(x(d/dx)+un) + TR(x(d/dx)+b) = TR( x(d/dx)+un + x(d/dx)+b ) si y sólo si un=_b_; de lo contrario, 2_ab_ < un²+b² es una desigualdad estricta.

Así que el zeta-función de regularización de la traza TR no es lineal.

0./2. Mi último comentario no es tanto para romper número 2. anteriormente, sino que sugieren que es de alcance limitado. En particular, para un operador de Una en un infinito-dimensional espacio vectorial, es imposible que Una^-s para que quede rastro de la clase de s en un abrir barrio de 0, así que si los zeta-función de regularización de DET tiene sentido, entonces det no. (I. e. es imposible decir que el detonante de UN = DET UN.) En efecto, si la serie converge para s=0, entonces tiene que ser una suma finita.

Del mismo modo, es imposible para Un ser de la clase de seguimiento y también para Una^-s a la clase de seguimiento para grandes s. Si Una es de la clase de seguimiento, a continuación, sus autovalores son limitados suma, y en particular la categoría cerca de 0 (por la "divergencia de prueba", desde el primer cálculo). Pero entonces los valores propios de Una^-s tienden a ∞ positivo s. I. e. es imposible decir que el tr UN = TR UNA.

Mi prueba de 2. dice lo siguiente. Supongamos que dUn/dt Un^-1 es de clase de seguimiento, y suponga que DET UN sentido como en el anterior. Entonces

d/dt [ DET UN ] = (DET a UNA)(tr dUn/dt Un^-1)

No tengo idea de lo que pasa, o incluso cómo atacar el problema, cuando dUn/dt Un^-1 tiene un zeta-función-regularización de la traza.

Answer 2

No tengo un conocimiento especializado acerca de las regularizaciones, pero como la primera dirección que yo creo:

(1) sí, es una identidad si nos fijamos en la definición de zeta-función (pensé en una definición diferente de zeta-regulaization)

(2) no sé, voy a ver más tarde. Pero parece ser una identidad.

(4, 5) TR sólo depens de autovalores. No recuerdo cuál es el estado de eigen{AB} = eigen{BA} es, pero creo que su verdadera bajo condiciones estándar en a y B -- si son auto-conjugado en un espacio de Hilbert.

Digamos que intenta comparar regularizado \det(1-AB) y \det(1-BA). Creo que el estándar razonamiento se aplica y dice que aquellos son iguales; lo mismo se podría aplicar a (A+B).