Por qué $\displaystyle i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}$ no puede ser considerado como el operador Hamiltoniano?

Question

En el momento dependiente de la ecuación de Schrödinger $\displaystyle, H\Psi = i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ , el operador Hamiltoniano es dada por

$\displaystyle H = -\frac{\manejadores^2}{2m}\nabla^2+V$

¿Por qué no podemos considerar $\displaystyle i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}$ como de un operador para el Hamiltoniano así?

Mi respuesta (que no estoy seguro acerca de) es la siguiente:

$\displaystyle H\Psi = i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ no es una ecuación para la definición de $H$. Esta situación es similar a la de $\displaystyle F=ma$. 2ª ley de Newton no es una ecuación para la definición de $F$, $F$ debe ser proporcionada de forma independiente.

Es mi razonamiento (y la analogía) la correcta, o la respuesta es más profundo que eso?

Answer 1

1) Si uno de los a priori erróneamente declara que el operador Hamiltoniano $\hat{H}$ es el tiempo derivativo $i\manejadores \frac{\partial}{\partial t}$, entonces la ecuación de Schrödinger

$$\hat{H}\Psi~=~i\manejadores \frac{\partial\Psi}{\partial t}$$

sería una tautología. Ejemplo trivial de la ecuación de Schrödinger no podría ser utilizado para determinar el futuro (ni pasado) tiempo de evolución de la función de onda de $\Psi({\bf r},t)$.

2) por el contrario, el operador Hamiltoniano $\hat{H}$ es típicamente una función de los operadores de $\hat{\bf r}$ y $\hat{\bf p}$, y la ecuación de Schrödinger

$$\hat{H}\Psi~=~i\manejadores \frac{\partial\Psi}{\partial t}$$

es un no-trivial requisito para la función de onda de $\Psi({\bf r},t)$.

3) entonces Uno se puede preguntar ¿por qué entonces es bueno para asignar el impulso del operador como un gradiente

$$\hat{p}_{i}~=~ \frac{\manejadores}{i}\frac{\partial}{\partial r^i} ?$$

(Esto se conoce como la representación de Schrödinger.) La respuesta es porque los de la canónica de relaciones de conmutación

$$[\hat{r}^i, \hat{p}_j]~=~i\manejadores\delta^i_j.$$

4) Por otro lado, la correspondiente conmutación relación por el tiempo $t$ es

$$[\hat{H}, t]~=~0, $$

porque el tiempo $t$ es un parámetro no un operador de la mecánica cuántica, ver también en esta cuestión. Tenga en cuenta que en contraste

$$[i\manejadores \frac{\partial}{\partial t}, ~t]~=~i\manejadores,$$

lo que también muestra que uno debe no identificar $\hat{H}$ y $i\manejadores \frac{\partial}{\partial t}$.

Answer 2

Usted no puede "cancelar" la función de onda de Schrödinger, ecuación, porque la función de onda es la principal variable de la misma. Es una ecuación para la función de onda.

El tiempo-derivado no puede ser considerado un operador debido a que el operador es, por definición, un bien definidos único mapa $$L:\,{\mathcal H}\{\mathcal H}$$ desde el espacio de Hilbert para el mismo espacio de Hilbert. Es un mapa: para cada elección de un vector $|\psi\rangle$, debe decir lo que es de $L|\psi\rangle$. Lineal de operadores se determina únicamente por un particular de la matriz con respecto a una determinada base. El tiempo derivativo no es nada de eso. Es el único bien definido cuando me dices lo $|\psi(t)\rangle$ es: la entrada (información que uno necesita saber) no es sólo un vector; debe ser un vector de valores de la función de tiempo.

No hay analogía entre Newton $F=ma$ y Schrödinger, ecuación, excepto que ambos de ellos son ecuaciones. Un cuántica mejor homólogo de Newton, las ecuaciones serían las ecuaciones de Heisenberg para los operadores, en lugar de Schrödinger, ecuación. Bueno, una muy leve analogía – que pudieran existir en cualquier ecuación – es que uno debe tener un particular, $x,p$-dependiente de la fórmula para la fuerza $F$ para calcular un particular $x(t)$; de la misma manera, se necesita una elección particular de la Hamiltoniana para calcular $|\psi(t)\rangle$. Pero es cierto, en cualquier ecuación: todos los accesos directos tienen que ser completamente explicada por la ecuación de hacer un muy bien definido el sentido y se aplican específicamente a un sistema en particular.

Answer 3

Matemáticamente $i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}$ es un operador diferencial. Digamos que es $\hat{E}$: $$\hat{E}:= i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}$$

Sin embargo, diciendo que $\hat{E}\psi=i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}\psi$ es simplemente decir que $\hat{E}\psi\equiv i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}\psi$ y todavía no es una ecuación de (es una tautología como Qmechanic señalado). De ecuaciones diferenciales usted sabe que, por ejemplo, por $\hat{L}:= \frac{d}{dx}$, $\hat{L}\psi(x)\equiv \frac{d\psi(x)}{dx}$ no es una ecuación. En su lugar, $\hat{L}\psi(x)=0=0\cdot \psi$ es una ecuación y, por supuesto, no significa que $\frac{d}{dx}= 0$. O mejor, tome la Lapalacian en dos dimensiones $\nabla^2\equiv\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$. A continuación, la de Laplace de la ecuación es $$\nabla^2 \psi(x,y)\equiv\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial y^2}=0$$

Usted puede volver a escribir como $$\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial y^2}$$

Obviamente esto no significa que $\frac{\partial^2}{\partial x^2}= -\frac{\partial^2}{\partial y^2}$, lo que significa que actúa por $\hat{L}_1:=\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ en $\psi$ le da la misma función que actúa sobre $\psi$ $\hat{L}_2:=-\frac{\partial^2}{\partial y^2}$: $$\hat{L}_1\psi(x,y)=\phi(x,y)$$

$$\hat{L}_2\psi(x,y)=\phi(x,y)$$

es decir, $\hat{L}_1\equiv\hat{L}_2$, pero no en general, sólo en una función específica en el espacio de funciones $\psi$ tal que $\hat{L}_1\psi=\phi=\hat{L}_2\psi$.

En el caso de tiempo dependiente de la ecuación de Schroedinger tenemos dos operadores de $\hat{E}$ y $\hat{H}$ ($\hat{L}_1$ y $\hat{L}_2$ en nuestro ejemplo anterior), que actúa sobre $\psi$ conducen al mismo resultado $\phi$: $$\hat{E}\psi\equiv i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}\psi=\hat{H}\psi\equiv \left(-\frac{\manejadores^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi=\phi$$ Esto proviene del hecho de que $\hat{E}\psi=E\psi=\phi$, $E=\frac{p^2}{2m}+V(x)$ y colocación de $p$ $\hat{p}$ y $x$ en $\hat{x}$ nos da el operador Hamiltoniano $H(\hat{x},\hat{p})$ tal que $\hat{H}\psi=E\psi=\phi$. Por lo que podemos considerar que $\hat{E}\equiv \hat{H}$ sólo en una función específica en el espacio de funciones $\psi(x,t)$, a pesar de que son diferentes de $\hat{E}\neq \hat{H}$ (como el $\hat{L}_1$, $\hat{L}_2$).

Answer 4

El propósito de la Hamiltoniana es determinar el tiempo de evolución de $\frac{\partial}{\partial t}$, y para ello el uso de $\frac{\partial}{\partial t}$ a sí mismo como Hamiltoniano es "no" porque todos los sistemas, independientemente de la física subyacente tendría el mismo Hamilton.

Lo que desea es una expresión que, dependiendo de la particular de la física, predice la evolución en el tiempo utilizando las cantidades que ya son conocidas antes de que el tiempo de evolución que en realidad sucede.

Saludos, Hans

Answer 5

Aunque no directamente relacionado con la pregunta en cuestión, me gustaría hacer el comentario de que el impulso operador no necesariamente surgen de la imposición de un colector. Surge como sigue:

Empezar por la definición de una traducción operador que actúa sobre un campo (considerar el caso sencillo en el primero):

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x+a)$

Expanda como:

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x)+\psi'(x)+ \frac{a^2\psi"(x)}{2!}+...$

=$[I+a\psi'(x)+ \frac{a^2\psi"(x)}{2!}+...]\psi(x)$

Llame al operador de la derivada de $\hat{D}$. Utilizando la notación para una exponencial, podemos escribir que:

$\hat{T}_a\psi(x)=e^{\hat{D}}\psi(x)$

Ahora tenemos que el operador diferencial es el generador infinitesimal de la traducción.

Para mantener la traducción operador de Hermitian nos redefinir definir un nuevo operador $\hat{p}=i\hat{D}$.

Este es entonces identificado con la cantidad física "momentum" si la variable x se describe la "posición". Hay mucho más a este y tal vez voy a editar este post cuando tengo tiempo.

El punto que deseo hacer es que $i$'s no se producen en la mano en una manera ad hoc, pero hay un propósito para hacer sustituciones.

Durante mucho tiempo yo no estaba satisfecho con la manera en que QM libros de texto aborda el tema de los operadores. Nadie me dijo que esta en la intro QM clase. Tuve la gran suerte de tener un excelente matemático, profesor de física, para explicar esto a mí. De gran clase y un excelente maestro!