¿Cuándo y cómo se representa un estado de dos cuerpos como producto tensorial?

Question

He leído que en la mecánica cuántica los sistemas compuestos se construyen como productos tensoriales.

Pero en la página 177 de Griffith, por ejemplo, se introduce una función de onda de dos cuerpos como Psi (x1,y1,z1,x2,y2,z2,t). (Seis dimensiones espaciales más el tiempo) Esto es claramente una suma directa, no un producto tensorial.

Si esto es correcto, ¿cuándo se utiliza una suma directa y cuándo un producto tensorial?

¿Por qué el producto tensorial que representa el sistema de dos cuerpos no es

¿Psi(x1x2,x1y2,x1z2,y1x2,y1y2,y1z2,z1x2,z1y2,z1z2,t) o algo similar?
(nueve dimensiones tensoriales más el tiempo). ¿Qué es lo que he entendido mal?

¿Y cuáles son las dimensiones del espacio tensorial?
¿O cómo se relacionan estas dimensiones abstractas con las dimensiones físicas del espacio del laboratorio?

Answer 1

La ley de composición de los sistemas cuánticos es siempre un producto tensorial. Tu problema surge de una confusión sobre a qué se aplica el producto tensorial: estás intentando hacer un producto tensorial entre las coordenadas espaciales, cuando en realidad son los vectores base del espacio de Hilbert los que deberías tensar juntos.

Más formalmente, tomemos dos sistemas cuánticos A y B, con sus correspondientes espacios de Hilbert $\mathcal{H}_A$ y $\mathcal{H}_B$ . El estado del sistema conjunto (A y B) vive en el espacio del producto tensorial $\mathcal{H}_{AB} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ . Esta es una forma elegante de decir que los vectores base del espacio de Hilbert combinado tienen el siguiente aspecto $$|\phi\rangle = |A\rangle\otimes|B\rangle.$$ Por lo tanto, un estado general puede escribirse como $$|\psi\rangle = \sum\limits_{jk} c_{jk} |A_j\rangle \otimes |B_k\rangle, $$ donde el $\{|A_j\rangle\}$ y $\{|B_k\rangle\}$ abarcan los espacios de Hilbert $\mathcal{H}_A$ y $\mathcal{H}_B$ respectivamente, y $c_{jk}$ son números complejos. Como es de esperar, si los dos espacios de Hilbert tienen dimensión $d$ (si son abarcados por $d$ vectores base cada uno) entonces el espacio de Hilbert combinado tiene dimensión $d^2$ . Un general $N$ -El espacio de Hilbert tiene dimensión $d^N$ .

Si los dos sistemas cuánticos son los grados de libertad de posición de dos partículas, entonces la función de onda total tiene el siguiente aspecto $$\Psi = \sum\limits_{jk} c_{jk} \psi_j^{(1)}(x_1,y_1,z_1,t)\psi^{(2)}_k(x_2,y_2,z_2,t),$$ que depende claramente de 6 coordenadas espaciales más el tiempo.

Answer 2

Un estado de dos cuerpos $|\Psi_{12}\rangle$ puede escribirse como un producto tensorial $|\Psi_{12}\rangle = |\Psi_1\rangle \otimes |\Psi_2\rangle$ sólo cuando no existen correlaciones entre ambos cuerpos: por ejemplo, dos cuerpos separados que no interactúan. Lo mismo ocurre en la mecánica clásica, donde el estado de dos cuerpos se factoriza como $\rho_{12} = \rho_1 · \rho_2$ sólo en ausencia de correlaciones.

El espacio de Hilbert no es el espacio ordinario y las variables mecánicas cuánticas $(x_1, x_2)$ asociado a la base de la posición $|x\rangle$ no corresponden a ningún punto del espacio ordinario. De nuevo ocurre lo mismo en la mecánica clásica con las variables clásicas $(x_1, x_2)$ asociado al espacio de configuración de dos cuerpos.

Las dimensiones del espacio físico del laboratorio se obtienen en el límite de una partícula.