¿Cuál es el resto cuando $1! + 2! + 3! +\cdots+ 1000!$ se divide por $12$ ?

Question

¿Cuál es el resto cuando $$1! + 2! + 3! +\cdots+ 1000!$$ se divide por $12$ .

He intentado encontrar la respuesta utilizando el Teorema del Binomio pero eso no ayuda. ¿Cómo lo haremos?

Por favor, ayuda.

Answer 1

Si $n\ge 4$ entonces $4!=24$ divide $n!$ $-$ en particular $12$ divide $n!$ cuando $\ge 4$ .

Así, $$ 1!+2!+\cdots+1000!=1!+2!+3! \!\!\!\!\pmod{12}=9\!\!\!\!\pmod{12}. $$

Answer 2

Sugerencia : Cada trimestre de $12!$ en adelante es divisible por $12$ así que no importan.