Encontrar matrices cuadradas $A, B$ , de tal manera que $\exp(A + B) \neq \exp(A) \exp(B)$ .

Question

La cuestión es la que se plantea en el título:

He elegido un ejemplo muy fácil. Sin embargo, me temo que me falta algo.

Las dos matrices que he elegido son $$A = \begin{bmatrix}1& 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\quad \text{and}\quad B =\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$

Mi razonamiento es que $$ \exp(A) = \begin{bmatrix}e^1& 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\quad\text{and}\quad \exp(B) =\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & e^1\end{bmatrix}$$

$$\exp(A)\exp(B) = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$ y $$exp(A+B) = \begin{bmatrix} e^1 & 0 \\ 0 & e^1\end{bmatrix}.$$

Por favor, compruébelo por mí

Answer 1

En su ejemplo $$A = \begin{bmatrix}0& 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\quad \text{and}\quad B =\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$ tenemos que $A^2=A^k=0$ para todos $k\ge 2$ y $B^k=B$ para todos $k\ge 1$ y por lo tanto $$ \exp A=I +A+\frac{A^2}{2!}+\cdots+\frac{A^n}{n!}+\cdots=I+A= \begin{bmatrix} 1&0 \\ 1&1 \end{bmatrix}, $$ mientras que $$ \exp B=I +B+\frac{B^2}{2!}+\cdots+\frac{B^n}{n!}+\cdots=I+B+\frac{B}{2!}+\cdots+\frac{B}{n!}+ \cdots=I+(\mathrm{e}-1)B =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}\end{bmatrix}.$$ y $$\exp(A)\exp(B) = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1 & \mathrm{e}\end{bmatrix}\quad\text{and}\quad \exp(A+B) = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ \mathrm{e}-1 & \mathrm{e}\end{bmatrix}.$$

¡Por lo tanto, su ejemplo FUNCIONA!

Nota. Una caracterización de la conmutatividad de la exponencial de las matrices es proporcionada por:

Teorema. Dejemos que $A,B\in\mathbb R^{n\times n}$ . Entonces $$ \mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{tB}=\mathrm{e}^{t(A+B)}, $$ para todos $t\in\mathbb R$ si y sólo si $AB=BA$ .

Para probar el Teorema 5 en estos notas .