No estoy seguro de lo que estoy haciendo mal aquí, ¿puede alguien explicar? Muchas gracias de antemano.
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Todo es correcto hasta el paso "Conectar": $$M(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}.$$ Entonces se elimina el símbolo de la suma, y a partir de ahí, las cosas se deterioran rápidamente. No se puede introducir arbitrariamente un valor para $k$ cuando $k$ es un índice de suma sobre los enteros no negativos. En su lugar, se debe escribir $$M(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda} \frac{(e^t \lambda)^k}{k!}.$$ Ahora, dejemos que $\lambda^* = e^t \lambda$ para que usted obtenga $$M(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda} \frac{(\lambda^*)^k}{k!}.$$ Si el término $e^{-\lambda}$ fueron en cambio $e^{-\lambda^*}$ entonces esta suma sería $1$ porque es una suma de la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson con parámetro $\lambda^*$ sobre su apoyo. Entonces, ¿cómo podríamos ajustar ¿esta expresión? Es simple:
$$\begin{align*} M(t) &= \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda} \frac{(\lambda^*)^k}{k!} \\ &= \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda} e^{\lambda^*} e^{-\lambda^*} \frac{(\lambda^*)^k}{k!} \\ &= e^{-\lambda} e^{\lambda^*} \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda^*}\frac{(\lambda^*)^k}{k!} \\ &= e^{\lambda^*} e^{-\lambda} \\ &= e^{\lambda^* - \lambda} \\ &= e^{e^t \lambda - \lambda} \\ &= e^{(e^t - 1)\lambda}. \end{align*}$$ Esto funciona porque $\lambda^*$ no es una función del índice de suma $k$ por lo que somos libres de multiplicar y dividir por este factor según sea necesario, de forma similar a como podríamos escribir $$\frac{x}{\sqrt{x-1}} = \frac{x \sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1} \sqrt{x-1}} = \frac{x\sqrt{x-1}}{|x-1|}.$$ Y como puedes ver, $e^{-\lambda^*} e^{\lambda^*} = 1$ por lo que no hemos cambiado el valor de la suma al insertar este factor en la suma en el segundo paso. A continuación, pasando al tercer paso, sacamos la constante (con respecto a $k$ ) factor $e^{-\lambda}e^{\lambda^*}$ de la suma.
Michael Hardy
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Un "error tipográfico" es donde se escribe "para $x=1,2,3,\ldots$ ", pero se necesita "para $x=0,1,2,3,\ldots$ ", empezando por $0$ en lugar de con $1$ .
Sólo por qué que conectaste $k=0$ y se espera obtener la respuesta de eso es un misterio para mí.
Has escrito correctamente: $$ M(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{tk} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}. \tag 1 $$ Obsérvese que en $(1)$ el factor $e^{-\lambda}$ no cambia como $k$ va de $0$ a $\infty$ y, por lo tanto, puede ser extraído: $$ M(t) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \frac{\lambda^k}{k!}. $$ La última suma puede escribirse como $$ \sum_{k=0}^\infty\frac{(e^t \lambda)^k}{k!}. \tag 2 $$
Ahora recuerda un resultado básico del cálculo: $$ e^a = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!}. \tag 3 $$
Sólo tienes que solicitarlo $(3)$ con $a= e^t \lambda$ y eso te dice el valor de la suma en $(2)$ y, en consecuencia, la de la suma en $(1)$ .
