Es $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ ¿Racional?

Question

En el apartado 2.2 de su ensayo sobre la moral matemática Eugenia Cheng incluye el siguiente ejemplo:

6. ¿Por qué es posible que un irracional al poder de un irracional sea racional?

   Aquí hay una pequeña prueba de que es posible:

   Considere $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ .

   Si es racional, hemos terminado.

   Si es irracional, considere $$\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^\sqrt{2} = \sqrt{2}^2=2.$$

Sin embargo, como señala Cheng, esto no nos dice si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ es racional o no. Entonces, ¿cuál es?

Answer 1

Es irracional (de hecho es trascendental). Esto se puede demostrar utilizando la Teorema de Gelfond-Schneider

Por el teorema, donde $a$ y $b$ son ambos algebraicos con $a \neq 0,1$ y $b$ irracional, $a^b$ es trascendental. Los números trascendentales son necesariamente irracionales.