En el apartado 2.2 de su ensayo sobre la moral matemática Eugenia Cheng incluye el siguiente ejemplo:
¿Por qué es posible que un irracional al poder de un irracional sea racional?
Aquí hay una pequeña prueba de que es posible:
Considere $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ .
Si es racional, hemos terminado.
Si es irracional, considere $$ \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^\sqrt{2} = \sqrt{2}^2=2.$$
Sin embargo, como señala Cheng, esto no nos dice si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ es racional o no. Entonces, ¿cuál es?
Es irracional (de hecho es trascendental). Esto se puede demostrar utilizando la Teorema de Gelfond-Schneider
Por el teorema, donde $a$ y $b$ son ambos algebraicos con $a \neq 0,1$ y $b$ irracional, $a^b$ es trascendental. Los números trascendentales son necesariamente irracionales.
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