Definición de la operación de representación matricial

Question

Sean V y w espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas $\beta={v_1,v_2,...,v_n}$ y $\gamma={w_1,w_2,...,w_m}$ . Sea $T:V \rightarrow$ sea lineal. Entonces, para cada j $1 \leq j \leq n$ existen escalares únicos $a_{ij} \in F$ , $1 \leq I \leq m$ , de tal manera que $T(v_j)= \sum_{i=1}^m a_{ij}w_i$ para $1 \leq j \leq n$ .

No entiendo el funcionamiento de este. $T(v_j)= \sum_{i=1}^m a_{ij}w_i$ ¿Buscamos el $j^{th}$ columna de $w_j$ ?

Ampliando, consigue $T(v_j)$ = $a_{1j}w_1 + a_{2j}w_2+...+a_{mj}w_m$ . Concretamente no entiendo el funcionamiento de la matriz aquí.

Answer 1

Creo que sé dónde estás confundido. Sin embargo...

Cuando un espacio vectorial se define de forma abstracta como éste, no se puede decir $j$ columna sin construir un sistema de coordenadas específico.

Así que desde $T:V\to W$ , $T(v_j)$ se refiere a algún vector en $W$ es decir, $T(v_j)\in W$ . Y $\sum_{i=1}^m a_{ij} w_i \in W$ se define por la suma de vectores y la multiplicación escalar.

Sin embargo, si te ayuda a entender el espacio vectorial abstracto, definitivamente puedes pensar en $V$ y $W$ como subespacios de $\newcommand{\reals}{{\mathbf R}}\reals^p$ para algunos $p$ .

Answer 2

Creo que el problema no está bien planteado. Ya que para cualquier transformación $T:V\to W$ (sea o no lineal), hay coeficientes determinados de forma única $a_{i,j}\in\mathcal{F}$ tal que \begin{equation} T(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i \end{equation} por el definición de base .

Creo que un problema correcto puede ser el siguiente.

Dejemos que $V$ y $W$ sea un espacio vectorial de dimensión finita con bases $v_1,\ldots,v_n$ y $w_1,\ldots,w_m$ respectivamente. Ahora dejemos que $T:V\to W$ sea una transformación lineal. Entonces demuestre que existe $\newcommand{\reals}{{\mathbf R}}A\in\mathcal{F}^{m \times n}$ tal que para cualquier $x_1,\ldots,x_n\in\mathcal{F}$ y $y_1,\ldots,y_m\in\mathcal{F}$ que satisface \begin{equation} T(x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n) = y_1 w_1 + \cdots + y_m w_m, \end{equation} está convencido de que $y = Ax$ . Demuestre también que esta matriz $A\in\mathcal{F}^{m\times n}$ ¡está determinada de forma única!

Tenga en cuenta que si $V\in\reals^n$ , $W\in\reals^m$ y $v_j$ s y $w_i$ s son los vectores unitarios estándar, $A\in\reals^{m\times n}$ no es más que el ¡matriz que define la transformación lineal habitual!