¿Qué caracteriza las clases de equivalencia del anillo cociente, P(N)/Fin(N)?

Question

Sea P(N) el conjunto de potencias de los números naturales. Sea Fin(N) la colección de todos los subconjuntos finitos de N. Entonces (P(N),diferencia simétrica, intersección) es un anillo. Estoy haciendo mi primer curso de teoría de anillos (así que no estoy seguro de si estoy utilizando la terminología correcta). Creo que he hecho una observación interesante sobre los cosets de Fin(N). Mi afirmación es que para los subconjuntos A y B en P(N), A + Fin(N) = B + Fin(N) implica que hay un entero positivo m tal que para todo n>=m, n es un elemento de AMBOS A y B o n no está en NINGUNO de los dos. ¿Alguien está de acuerdo o no?

Una de las razones por las que creo que esto es interesante es que ilustra una correspondencia 1-1 entre los cosets de Fin(N) (que a su vez contienen un número infinito de elementos) y P(N).

Answer 1

Sí, la colección de subconjuntos finitos forma un ideal (tanto en teoría de anillos como en teoría de conjuntos). Y como la adición es una involución ( $A+A=0$ para todos $A$ ), significa que, de hecho, ha definido el cociente habitual por un ideal con $A\equiv B\iff A-B=A+B\in\mathrm{Fin}$ .

Así que dos clases de equivalencia, son iguales si y sólo si $A+B\in\mathrm{Fin}$ , a saber $A\mathop{\triangle}B$ es un conjunto finito. Esto significa que $A$ y $B$ son iguales después de algún segmento inicial.

(Curiosamente, no ilustra del todo una correspondencia 1-1, ya que en algunos modelos de $\sf ZF+\lnot AC$ no existe una biyección entre $\mathcal P(\Bbb N)$ y $\mathcal P(\Bbb N)/\mathrm{Fin}$ .)

(Otras notas a pie de página pueden incluir que lo que es interesante es que se puede encontrar una secuencia de tipo de orden $\omega_1+\omega_1^*$ en el orden heredado por el cociente. Es decir, existe una secuencia $A_\alpha$ y $B_\alpha$ para $\alpha<\omega_1$ , de tal manera que $A_\alpha$ forman una secuencia creciente en $\mathcal P(\Bbb N)/\mathrm{Fin}$ El $B_\alpha$ forman una secuencia decreciente, y cada $A_\alpha$ es menor que todos los $B_\beta$ 's .)