Definiciones
El toro que consideramos es la representación plana dada por el cociente $\mathbb{C}/\mathbb{Z}[i]$ o, de forma equivalente, como el conjunto $$ \tau = \{\, (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq x, y \leq 1 \,\} $$ con los puntos $(x, y), (x+1, y), (x, y+1)$ identificado. El toro 3D no es de interés aquí.
Considere el toro como un subconjunto de $\mathbb{R}^{2}$ . Entonces un línea es lo que normalmente consideraríamos una línea recta en $\mathbb{R}^{2}$ con la identificación de aristas que posiblemente dividan la línea en muchos segmentos delimitados por la frontera del toro. Por ejemplo, la siguiente imagen (izquierda) es la línea de gradiente $4/3$ en el toroide que pasa por $(0,0)$ . La imagen de la derecha son doce inclinaciones de la representación plana para mostrar de dónde viene cada segmento de la izquierda.
A partición del toroide es una disposición de líneas en el toro. Estas líneas deben extenderse de frontera a frontera, como en el caso anterior.
A rejilla triangular es una partición del toro por tres conjuntos de líneas paralelas tal que cada vértice tiene grado $6$ y cada cara es un triángulo. Podemos suponer que las líneas son horizontales, verticales y de pendiente racional si es necesario. A continuación se da un ejemplo de retícula triangular, seguido de cinco particiones que se permiten en el toro.
Es importante que haya exactamente tres gradientes distintos que las líneas pueden tener, y que el las líneas continúan de frontera a frontera . Por ejemplo, la representación plana del gráfico {"Circulante", {9, {1, 2, 3}} (tomada de Respuesta de Ed Pegg ) no se ajusta a los requisitos de una cuadrícula triangular, ya que las líneas no tienen exactamente tres gradientes diferentes. Tampoco es una partición permitida, ya que no todas las líneas se extienden de frontera a frontera.
Identidades útiles
Que cada intersección de líneas induzca un vértice, que cada segmento de línea entre vértices conectados sea una arista, y que el interior cerrado de al menos dos aristas incidentes sea una cara. Sea $V, E, F$ sea el número de vértices, aristas y caras en que se divide el toro, respectivamente. Es bien sabido que la característica de Euler del toro es cero, por lo que $$ V - E + F = 0.\tag{1} $$ Dejemos que $d(v)$ denotan el grado del vértice $v$ (que debe ser par, por construcción). También se sabe que sumando los grados de todos los vértices se obtiene $$ 2E = \sum d(v).\tag{2} $$ Dejemos que $F_{s}$ denotan el número de caras con $s > 1$ bordes. Cuando no hay bucles en el gráfico, un simple argumento de conteo muestra que $$ 2E = \sum_{s \geq 2} sF_{s}.\tag{3} $$ También es trivial que $F = \sum_{s \geq 2} F_{s}$ .
Lemma -- Pregunta
Comenzamos con un simple lema:
Lema. Consideremos una partición del toro en $V$ vértices, $E$ bordes, y $F$ caras que forman una cuadrícula triangular. A continuación, $$ E = 3V \qquad\text{and}\qquad F = 2V. $$
Prueba. Cada rostro tiene $3$ bordes, por lo que $F = F_{3}$ . Por $(3)$ tenemos $$ 2E = \sum_{s\geq 2}sF_{s} = 3F_{3} = 3F. $$ Por $(1)$ tenemos $V - E + F = 0$ para que $3F - 3E = -3V$ . Tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas, a saber $$ 3F - 2E = 0 \qquad\text{and}\qquad 3F - 3E = -3V. $$ Si se resuelve esto, se obtiene $E = 3V$ y $F = 2V$ según sea necesario. $\qquad\square$
Mi pregunta es la siguiente.
¿Es cierta la inversa del lema? Es decir, si alguna partición del toro tiene $V$ vértices, $E$ bordes, y $F$ caras tales que $E = 3V$ y $F = 2V$ Entonces, ¿es cierto que la partición es necesariamente una cuadrícula triangular?
Todavía no he podido encontrar un contraejemplo. En la prueba de la inversa, quiero demostrar que $d(v) = 6$ para todos los vértices $v$ y que $F_{3} = F$ con $F_{i} = 0$ para todos $i \neq 3$ .
Me he dado cuenta de que no podemos tener ninguna cara con más de $6$ bordes para que el $s$ índice sólo se ejecuta entre $2$ y $6$ pero parece que todavía hay demasiadas variables para hacer algo (es decir, cada uno de los grados de los vértices y los cinco $F_{s}$ para $s \in [2, 6]\cap\mathbb{Z}$ ).
