Álgebras de Lie de GL(n,R) y diferenciales

Question

Esta pregunta proviene de una prueba en el libro de John Lee Introducción a los colectores suaves , página 194. Estoy cuestionando una línea en la prueba de la siguiente proposición:

La composición de los mapas

$\text{Lie}(GL(n,\mathbb{R}))\rightarrow T_{I}(GL(n,\mathbb{R}))\rightarrow\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$

da un isomorfismo del álgebra de Lie entre $\text{Lie}(GL(n,\mathbb{R}))$ y el álgebra matricial $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$

Utiliza las coordenadas estándar, $X^i_j$ , en $GL(n,\mathbb{R})\subset \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ . Según tengo entendido, estos $n^2$ las funciones de coordenadas toman $A\in GL(n,\mathbb{R})$ a la $ij$ -La entrada número uno de la representación matricial de $A$ .

Escribe cualquier $A=(A^i_j)\in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ determina un campo vectorial invariante a la izquierda $A^l\in \mathfrak{g}$ dado por

$A^L|_X=(dL_X)_I (A)=(dL_X)_I\left(A^i_j\frac{\partial}{\partial X^i_j}\bigg|_I\right)$ .

Esto está bien. Son sus siguientes líneas las que me confunden. Dice

Desde $L_X$ es la restricción a $GL(n,\mathbb{R})$ del mapa lineal $A\mapsto XA$ en $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ su diferencial está representada en coordenadas por exactamente el mismo mapa lineal. En otras palabras, el campo vectorial invariante a la izquierda $A^L$ determinado por $A$ es aquel cuyo valor en $X\in GL(n,\mathbb{R})$ es

$ \begin{align}A^L|_X=X^i_j A^j_k \frac{\partial}{\partial X^i_k}\bigg|_X\end{align}$ .

Entiendo el hecho de que la representación matricial del diferencial de un mapa lineal es sólo la representación matricial del propio mapa lineal. Y creo que esto es esencialmente lo que está pasando aquí. La razón por la que estoy confundido, es porque siento que está utilizando dos significados diferentes para la misma notación $X^{\alpha}_{\beta}$ .

Según tengo entendido, el $X^i_k$ en el $\partial/\partial X^i_k$ son las coordenadas globales definidas en $GL(n,\mathbb{R})$ . Mientras que, creo que el $X^i_j$ en el coeficiente de cada vector base es el $ij$ -La entrada número uno de la representación matricial de $X$ . ¿No sería más apropiado escribir,

$A^L|_Y = (dL_y)_I(A)=Y^i_jA^j_k\frac{\partial}{\partial X^I_k}\bigg|_Y$ , donde $Y^i_j$ es el $ij$ -La entrada número uno de la representación matricial de $Y\in GL(n,\mathbb{R})$ ?

No sé si estoy siendo estúpido o pedante. Probablemente ambas cosas. ¡Pero si alguien es capaz de aclarar esto para mí sería muy apreciado!

Gracias.

Answer 1

El cálculo de $[A^L, B^L]$ que sigue en la misma página muestra que la elección de la notación es intencional, ya que Lee utiliza el hecho de que $\partial X^p_q/\partial X^i_k$ es igual a $1$ siempre que $p=i$ y $q=k$ y es igual a $0$ de lo contrario. Para bien o para mal, la geometría diferencial está llena de abusos (en su mayoría) inofensivos de notación como éste.

Merece la pena pensar en las observaciones de Lee en la página 63, donde habla del cambio de coordenadas:

Aquí nos permitimos un típico abuso de la notación: en la expresión $\tilde x^i(x)$ pensamos en $\tilde x^i$ como una coordenada función (cuyo dominio es un subconjunto abierto de $M$ identificada con un subconjunto abierto de ${\bf R}^n$ o ${\bf H}^n$ ); pero pensamos en $x$ como representación de un punto (en este caso, en $\varphi(U\cap V)$ ).

(Como referencia, se pueden encontrar otros tratamientos de este cálculo en la obra de Loring Tu Introducción a los colectores , página 184, o el libro de Michael Spivak Introducción completa a la geometría diferencial , volumen 1, página 377).