Si f es entera y para todo $z \in \mathbb{C}$ , $f^{(n)}(z) = 0$ para algún n, entonces f es un polinomio.

Question

He visto las otras respuestas a esta pregunta de hace un año pero sigo bastante confuso. He intentado usar el teorema de la identidad y varios de sus corolarios, factorizar la enésima derivada de f, y más, pero cada vez que afirmo algo me doy cuenta de que se basa sólo en que un punto z tenga una derivada que desaparezca, en lugar de todos los puntos de $\mathbb{C}$ que se desvanezca alguna derivada. ¿Alguna idea sobre el inicio de este problema, o un teorema que pueda utilizar?

Answer 1

Pista: Demuestre que como $D=\{z: |z|\leq 1\}$ es incontable, debe haber un $n$ tal que $f^{(n)}(z)=0$ para un número infinito de $z\in D$ .

Answer 2

Sugerencia: Deja que $E_n = \{z\in \mathbb C : f^{(n)}(z) = 0\}.$ Entonces $\mathbb C = \cup_n E_n.$ De ahí que algunos $E_n$ es incontable.

Answer 3

Podemos establecer una relación $$ zR j \iff f^{(j)}(z) = 0 $$ Esta relación es total a la izquierda, por lo que $\bigcup_{j \geq 0} R^{-1}[\{j\}] = \mathbb{C}$ . Desde $\mathbb{C}$ es incontable, uno de los $R^{-1}[\{j\}]$ es incontable, por lo que $f^{(j)}$ tiene un número incontable de ceros.

Ya que en $\mathbb{R}^n$ cualquier conjunto incontable tiene un punto límite, podemos utilizar Una mejora para derivar que $f^{(j)} = 0$ .

Por lo tanto, $f$ es un polinomio.