Malinterpretar un resultado del análisis funcional

Question

Al leer la página 111 de este libro Me confundí en cuanto a lo que los autores estaban haciendo en su contraejemplo de por qué la convergencia fuerte no implica la convergencia uniforme. Lo resumo a continuación

Dejemos que $X= l^2(\mathbb{N})$ y definir la proyección $P_n:X\to X$ por $$P_n(x_1,x_2,\ldots, x_n, x_{n+1},\ldots) = (x_1, x_2,\ldots, x_n,0,0,0\ldots).$$ Entonces $||P_n-P_m|| = 1$ para $n\neq m$ Así que $(P_n)$ no converge uniformemente. Sin embargo, si $x\in l^2(\mathbb{N})$ es cualquier vector fijo, tenemos $P_n x \to x$ como $n\to\infty.$ así $P_n\to I$ fuertemente.

¿Por qué es cierto que $||P_n-P_m|| = 1$ para $n\neq m$ . Parece que no entiendo lo que se hizo aquí.

Answer 1

Si $m>n$ entonces $$(P_n-P_m)x = (0,\ldots,x_{n+1},\ldots,x_m,0,\ldots),$$ Por lo tanto, $\|(P_n-P_m)x\|\le \|x\|$ Por lo tanto $\|(P_n-P_m) \|\le 1$ . Tome $x=e_{m}$ (es decir, todos los elementos son ceros excepto el $m$ -th) para demostrar que $\|(P_n-P_m) \|= 1$ .

Además, $$(I-P_n)x = (0,\ldots,x_{n+1},\ldots),$$ por lo que $$\|(I-P_n)x\|^2 = \sum_{j\ge n+1}|x_j|^2\to 0 \quad \text{as}\quad n\to\infty.$$

Por lo tanto, $P_n$ converge a $I$ en topología débil-*. Nótese que $P_n$ ¡no convergen fuertemente!

Answer 2

Dejemos que $n > m$ entonces $(P_n - P_m)(x_1, x_2, \ldots) = (0, \ldots, 0, x_{m+1}, \ldots, x_n, 0, \ldots)$ . Por lo tanto, $\|P_n - P_m\| \leq 1$ . Pero si tomamos la secuencia $e_{m+1}$ con un $1$ en la posición $m+1$ y ceros en otros lugares, vemos $(P_n - P_m)(e_{m+1}) = e_{m+1}$ Por lo tanto $\|P_n - P_m\| = 1$ .