Un interesante polinomio que utiliza la permutación y las identidades :)

Question

¿Puede alguien ayudarme a intentar solucionar este problema? Gracias.

Dejemos que $F\in \mathbb{Z}\left [ X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5} \right ], F=(X_{1}+X_{2}+X_{3})^{2}X_{4}X_{5}+X_{1}X_{2}X_{3}(X_{4}+X_{5})$ . Si $A = \{ a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 \} \subseteq \mathbb{R}$ es un conjunto con $|A| = 5$ , encuentre el número máximo de elementos del conjunto: $$\{F(a_{\sigma(1)},a_{\sigma(2)},a_{\sigma(3)},a_{\sigma(4)},a_{\sigma(5)}) \} \mid \sigma \in S_5\}$$

$\text{My approach:}$ Creo que esa es la idea pero no puedo redactar el problema completo: F es simétrico con $X_1, X_2, X_3$ en relación con $X_4, X_5$ así que tengo el máximo $10$ expresiones y tengo que mostrar el número fundado es $10$ .

Answer 1

Ha demostrado que no puede haber más de diez elementos. Sólo queda encontrar un conjunto de diez.

Elegir arbitrariamente los números $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ para que no haya dos de los $10$ pares $\{ b_i,b_j\}$ tienen la misma suma. Denotemos $\sum b_i$ por $B$ y que cada $a_i=x-b_i$ . Entonces $$ F(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=11x^4-(8B+2b_4+2b_5)x^3+ \cdots$$

Para las permutaciones $i,j,k,l,m$ de $1,2,3,4,5$ Por lo tanto, obtenemos diez polinomios diferentes $F(a_i,a_j,a_k,a_l,a_m)$ . Al igualar todos los pares de estos diez polinomios, sólo se obtendrá un número finito de raíces, por lo que podemos elegir (infinitamente) $x$ para que tengamos los diez elementos diferentes necesarios.