Método de Laplace para las asíntotas integrales cuando g(c) = 0

Question

Estoy usando estas notas como referencia, pero me encuentro con algunas dudas.

Digamos que estoy tratando de encontrar, para grandes $\lambda$ $$I(\lambda)=\int_0^{\pi/2}dxe^{-\lambda\sin^2(x)}$$ Esto tiene nuestro máximo en $c=0$ donde g(c)=0 y g'(c) $\neq$ 0. Así que cuando saco el $e^{\lambda g(c)}$ , es decir, sólo 1, así que continúo expandiendo g(x) alrededor de x = 0, y luego cambio los límites de -Infinito a Infinito. $$I(\lambda)\approx\int_{-\infty}^\infty dx\exp[-\lambda(x^2-x^4/3+...)]$$ En primer lugar, esto es sólo $\sqrt{(\pi/x)}$ pero el segundo orden diverge.

La razón por la que esto me deja perplejo es porque puedo encontrar un solución exacta que depende de $e^x$ así que no estoy seguro de dónde me estoy equivocando al calcular el comportamiento.

Answer 1

Tenga en cuenta que tiene un punto final máximo, y por lo tanto la integral debe ser sólo de un lado; este es el tipo de caso en el que El lema de Watson se aplica.

Answer 2

Puedes aprovechar la simetría de tu integrando para que el punto máximo sea un punto interior: $I(\lambda)=\int_0^{\pi/2} e^{-\lambda\sin^2(x)}\,dx ={1\over 2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-\lambda\sin^2(x)}\,dx$ . El método de Laplace da como resultado $I(\lambda)\sim \sqrt{\pi\over 4\lambda}$ . Esto es consistente con su evaluación exacta de $I(\lambda)$ y los conocidos grandes $\lambda$ asintótica para la función de Bessel $I_0$ : $I_0(x)={e^x\over\sqrt{2\pi x}}+e^x\cdot O(x^{-3/2})$ .

Answer 3

Esa integral puede calcularse de forma explícita utilizando funciones de Bessel modificadas del primer tipo:

$$ \int_{0}^{\pi/2} e^{-\lambda\sin(x)^2}\,dx = \frac{\pi}{2}e^{-\lambda/2}\,I_0(\lambda/2) \tag{1}$$ entonces la forma asintótica se deduce de La expansión de Hankel : $$ \int_{0}^{\pi/2} e^{-\lambda\sin(x)^2}\,dx \approx \sqrt{\frac{\pi}{4\lambda }}\left(1+\frac{1}{4\lambda}\right).\tag{2} $$