Ayer, alguien preguntó si un $n\times n$ Matriz de fila-estocástica $A$ que satisface $a_{ii}>\max(a_{ij},a_{ji})$ para todos $i\ne j$ es necesariamente no singular. La respuesta es claramente positiva cuando $n=1,2$ . He demostrado que la respuesta es negativa para cada $n\ge4$ y el contraejemplo $A$ puede elegirse para que sea simétrico (por tanto, doblemente estocástico) y positivo a la entrada.
Esto deja sólo el caso $n=3$ abierto. Tengo la sensación de que $A$ debe ser no singular, pero no puedo demostrarlo. ¿Alguna idea?
Aquí está uno de mis descubrimientos hasta ahora. Supongamos que $Av=0$ tiene una solución no trivial $v=(x,y,z)^T$ . Al permutar las filas y columnas de $A$ y al escalar $v$ (por un factor posiblemente negativo) si es necesario, podemos suponer que $x=1\ge y\ge z>-1$ o $x=1\ge y\ge0>z=-1$ . Tenga en cuenta que ninguno de los $y$ y $z$ puede ser cero, de lo contrario alguna columna de $A$ es un múltiplo escalar de otro, pero esto es una contradicción con la suposición de que $a_{ii}>\max(a_{ij},a_{ji})$ . Así que, o bien $y>0>z$ o $y,z<0$ . El primer caso es imposible, porque implica que $$ a_{11}<a_{11}+a_{12}y=a_{13}|z|\le a_{13}. $$ Por lo tanto, debemos tener $y,z<0$ . A su vez, obtenemos $x=1>0>y\ge z>-1$ pero no puedo seguir adelante.
