¿Qué podemos decir de esta generalización de la conexión simple?

Question

Dejemos que $S$ sea un esquema conectado. Decimos que $S$ es simplemente conexo si todo morfismo suave y propio $X \to S$ de dimensión relativa $0$ tiene una sección. Esto es equivalente a la definición estándar, ya que los morfismos etale finitos son morfismos suaves y propios de dimensión relativa $0$ y, tras la reducción al caso conectado, tener una sección equivale a ser trivial.

Ahora digamos que $S$ es $d$ -trivial si todo morfismo suave y propio $X \to S$ de dimensión relativa $d$ tiene una sección. Así que siendo $0$ -trivial es lo mismo que estar simplemente conectado.

Podríamos ampliar la definición para llamar a $\infty$ -esquemas triviales que son $d$ -trivial para todos $d$ .

Para qué números $d>0$ ¿podemos decir algo sobre qué esquemas son $d$ -¿trivial?

Esta pregunta se inspiró originalmente en esta excelente pregunta en el que se demuestra que $\operatorname {Spec} \mathbb Z$ es $1$ -trivial pero no $6$ -trivial. La aparente dificultad de nuevos avances en $\operatorname{Spec} \mathbb Z$ me llevó a preguntarme si otros casos, como las variedades sobre $\mathbb C$ podría ser más fácil. En particular:

Por lo que $d$ es $\mathbb P^1_\mathbb C$ $d$ -¿trivial? $\mathbb P^n_\mathbb C$ ?

Answer 1

Ya $\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ no es $1$ -trivial, por ejemplo, el Proj relativo del álgebra simétrica del haz de diferenciales relativos (el haz tangente proyectado) no puede tener ninguna sección.

$\textbf{Edit}.$ También se puede utilizar la construcción de Serre para construir gavillas similares localmente libres de rango $2$ en $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ . Esto levanta una bandera roja al considerar " $d$ -simple" como una generalización de "simplemente conectado". Para cada generalización de "simplemente conectado" que conozco, un producto de dos variedades "simplemente conectadas" es de nuevo "simplemente conectado". Sin embargo, eso falla para " $1$ -simple".