Vértice de un módulo fuente trivial

Question

Esto debería ser fácil para los especialistas en teoría de la representación residentes:

Dejemos que $F$ sea un campo algebraicamente cerrado de característica $p>0$ , $G$ un grupo finito, y $M$ un indescomponible $FG$ -que es un sumando directo de $\mathrm{Ind}_{G/H} 1$ . Es un vértice de $M$ dado por un $p$ -Sylow de $H$ ¿o puede ser más pequeño? Estoy seguro de que puede ser más pequeño en general (se agradecería un ejemplo). ¿Existen condiciones para $H$ que aseguran que el vértice no es más pequeño (por ejemplo $p$ -Silencio normal en $H$ No consigo que me funcione la correspondencia verde).

A modo de recordatorio, el vértice de $M$ es un subgrupo mínimo $U$ de $G$ con la propiedad de que $M$ es un sumando directo de $\mathrm{Ind}_{G/U} 1$ . Siempre es un $p$ -y está bien definida hasta la conjugación.

Answer 1

Esto es falso, de hecho $k_H\uparrow ^G$ puede tener sumandos proyectivos que, por tanto, tienen vértices $\{1\}$ . Los vértices de su $M$ están contenidos en los conjugados de $H$ pero eso es lo mejor que se puede decir en general.

Ejemplo: tomemos el grupo simétrico $S_4$ en la característica dos. Tiene dos módulos simples, a saber, el módulo trivial y un 2-d simple. Ambos tienen cubierta proyectiva de dimensión 8. Para ver el simple no trivial, consideremos el rep natural 4d sobre elementos de base 1,2,3,4. Tiene un submódulo 3d abarcado por 1+2,2+3,3=4 (el "ideal de aumento") que tiene un submódulo 1d abarcado por 1+2+3+4. El cociente por este submódulo 1d no tiene acción trivial, y de hecho es simple.

Dejemos que $H$ sea el subgrupo $\langle (1,2) \rangle$ . Entonces $k_H \uparrow ^G = M \oplus N$ donde ambos $M$ y $N$ son indecomponibles, $M$ es proyectiva de dimensión 8 (es la cubierta proyectiva del módulo 2d simple) y $N$ es una copia del módulo natural (cuyo vértice es $H$ ). Tal vez la forma más fácil de verificar esto es con Magma (hay una calculadora de Magma en línea si no tienes acceso institucional).