No veo cómo el teorema fundamental del cálculo establece que la integración y la diferenciación son inversas entre sí

Question

Estoy tratando de entender bien el primer teorema fundamental del cálculo pero hay varios detallitos que me están dando muchos problemas. Así que pensé que aquí describiría mi comprensión del mismo y explicaría lo que me da problemas.

Supongamos que dejo que la función $A(x)=\int_a^xf(t)dt$ definir el área delimitada por una curva $f(t)$ y las líneas $t=a$ y $t=x$ , de tal manera que $a\leq x$ y el eje horizontal. $A(x)$ es una función de $x$ . El teorema fundamental del cálculo establece que $\frac{d}{dx}A(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$ .

1. Decimos que $A(x)$ es la antiderivada de f(x), ¿significa esto que es la integral indefinida de f(x)? Si es así, ¿el teorema utiliza una integral definida de f(t) para llegar a una integral indefinida de $f(x)$ ?

2. Es $f(t)$ la misma función que $f(x)$ ? Lo que quiero decir con esto, es que si $f(t)=t\times cos(2t^2-3t)$ , lo haría $f(x)=x\times cos(2x^2-3x)$ ? Si es así, ¿es esta una suposición que debemos hacer para definir el teorema fundamental del cálculo, o es una consecuencia del mismo?

3. ¿El hecho de que ambas funciones reciban la letra $f$ ¿se refiere a que ambos son lo mismo? Si este es el caso, ¿podríamos no utilizar $t$ es una variable, y utilizar $x$ ¿en su lugar? Sé que puede ser un poco confuso ya que $x$ es también uno de los límites de la integral, pero ¿podría hacerse en principio?

4. Creo que esta es la pregunta más importante que tengo. La primera parte del teorema fundamental del cálculo se utiliza para demostrar que la integración y la diferenciación son inversas entre sí. Pero mi problema es que el área que estamos encontrando está limitada por la función $f(t)$ no la función $f(x)$ . Esencialmente, lo que creo que el teorema está diciendo, es que la derivada de la función que nos da el área bajo la curva $f(t)$ en un intervalo entre $t=a$ y $t=x$ es $f(x)$ . Si realmente quisiéramos demostrar que la integración es la inversa de la diferenciación, ¿no tendríamos que demostrar que la función área nos da el área bajo $f(x)$ ?

Supongo que el quid de mi problema es que me cuesta entender cómo las dos variables $t$ y $x$ se relacionan entre sí. Porque si ambos $f(t)$ y $f(x)$ se puede utilizar para encontrar el área $A(x)$ entonces deben estar relacionados entre sí de alguna manera, ¿no?

Answer 1

Esto es correcto - usted capta la esencia de esta forma del teorema fundamental del cálculo.

Esencialmente, lo que creo que el teorema está diciendo, es que la derivada de la función que nos da el área bajo la curva $f(t)$ en un intervalo entre $t=a$ y $t=x$ es $f(x)$ =.

Creo que tu problema es con los nombres de las variables. Realmente no hay diferencia entre $f(x)$ y $f(t)$ . Tiene una función $f$ que asigna números a números. $f(x)$ no es la función, es el valor de la función $f$ en el número $x$ . La expresión $$ \int_a^b f(t)dt $$ puede y suele escribirse simplemente como $$ \int_a^b f \ . $$ Se puede interpretar como el área bajo el gráfico de $f$ entre los valores $a$ y $b$ en el primer eje de coordenadas, que tradicionalmente se denomina $x$ -eje.

Al enunciar el teorema fundamental del cálculo se quiere considerar cómo cambia esa área como $b$ cambios. Dado que ese límite superior $b$ se debe pensar en el cambio, se llama $x$ . Luego se diferencia la forma en que el área cambia en función de $x$ . Ahora bien, si quieres usar alguna variable y su diferencial en el integrando necesitas otro nombre para ella, así que escribe $f(t)dt$ .

Relacionado: ¿Por qué no se puede demostrar el segundo teorema fundamental del cálculo en sólo dos líneas?

Answer 2

Q1
"Integral indefinida" es simplemente un término de conveniencia que significa que la integral indefinida $\int f(t) dt = A(t) + C,$ donde $C$ es la constante de integración.

En la práctica, cuando $A(t) + C$ se evalúa en $t=a$ y $t=x$ La constante de integración se "anula". Por eso nunca se ve en integrales definidas, pero sí en integrales indefinidas.

¿Ha respondido esto a su pregunta?

Q2
Esta es un área de confusión.

Dada una función $f$ El uso de $t$ en la expresión $f(t)$ es un marcador de posición para cualquier valor.

En el $A(x) = \int_a^x f(t)dt$ arena, usted no debe emplean la variable $x$ con la función $f$ , porque la variable $x$ ya se utiliza como uno de los puntos finales de la integral.

Así que no quieres sobrecarga el $x$ variable.

Fuera de ese escenario, si tienes la función $f(t)$ , y las variables $x$ o (para el caso) $y$ ) no son de otra manera se utilizan, las expresiones alternativas $f(x)$ o $f(y)$ sería tener sentido.

Q3
En el $A(x) = \int_a^x f(t)dt$ arena,
especificando que $f(x) = A(x)$ es a la vez descuidado y totalmente equivocado.

En este ámbito, la función que se relaciona con la integral es $A(x),$
y $f(t)$ es la función que se integra.

Q4
Cuando $A(x) = \int_a^x f(t)dt,$ entonces $\frac{d}{dx}A(x)$ es $f(x).$

Es decir, con respecto a $f$ como la función que se integra, y $A$ como la correspondiente función que representa el área bajo la curva,
en un punto específico $x_0, A'(x_0)$ es $f(x_0)$ .
Lo que esto significa, es que en $x_0$ la tasa de cambio de $A(x)$ es
igual a la altura bajo la curva en $x=x_0$ que corresponde a $f(x_0).$

Visto así, la asociación entre la función Área $A(x)$ y la altura función $f(x)$ tiene sentido.

"Si realmente quisiéramos demostrar que la integración es la inversa de la diferenciación, ¿no tendríamos que demostrar que la función área nos da el área bajo $f(x)$ ".

No En lugar de ello, tendrías que demostrar, como suelen demostrar los libros de Cálculo, que la derivada de la función Área en $x=x_0$ es igual a la función de altura $f(x_0).$

Por lo tanto, la relación es $A'(x_0) = f(x_0),$ y el
antiderivada (en general) de $f(t)$ es $A(t) + C.$