Derivado de $F: \mathbb{R^{n \times n}} \longrightarrow \mathbb{R^{n \times n}}, A \longmapsto A^2$

Question

Dejemos que $\mathbb{R^{n \times n}}$ denotan el espacio de los reales $n \times n$ matrices equipadas con la norma de la matriz $\| A \| = \sup_{\| x \lvert\rvert_2 =1} \| Ax \|_2$ . Definir $$F: \mathbb{R^{n \times n}} \to \mathbb{R^{n \times n}}: A \mapsto A^2$$ Demuestra que $F$ es totalmente diferenciable y calcula $DF \, \lvert_A$ .

Lo que he mostrado es lo siguiente: para $H \in \mathbb{R^{n \times n}}$ , $$F(A+H)-F(A) = (A+H)^2 - A^2 = AH+HA+H^2$$ Así que dejemos $T(H) = AH+HA$ . Entonces, para demostrar que $T$ es la derivada total, y por tanto $F$ es totalmente diferenciable, necesitamos demostrar $$\lim_{H \rightarrow 0} \frac{\| H^2 \|}{\| H \|} = 0$$ Mi problema es que tengo dificultades para mostrar esto usando la norma de la matriz.

Answer 1

Como se sugiere en el comentario, se puede mostrar

$$\| H^2\| \le \| H\|^2$$

o en general, $\| AB\| \le \|A\| \cdot\|B\|$ , donde $A, B$ son $n\times n$ matrices.

Para calcular $\|AB\|$ , dejemos que $x\in \mathbb R^n$ con $\|x\|_2 = 1$ . Entonces

$$\|(AB)x\|_2 = \|A (Bx)\|_2.$$

Es cero si $Bx = 0$ . Si no es así, escriba $Bx = \|Bx\|_2 \frac{Bx}{\|Bx\|_2}$ y así

$$\|(AB)x\|_2 = \|Bx\|_2 \cdot \left\| A \left(\frac{Bx}{\|Bx\|_2}\right)\right\|_2.$$

Dado que ambos $x$ , $\frac{Bx}{\|Bx\|_2}$ tiene norma uno, tenemos

$$\|(AB)x\|_2 \le \|B\| \cdot \|A\|.$$

Dado que esto es válido para todos los $x$ con $\|x\|_2 = 1$ , tomando el supremum tenemos $\|AB\|\le \|A\| \cdot\|B\|$ .

Tenga en cuenta que la prueba será un poco más fácil si utiliza otra definición (equivalente)

$$\|A\| = \sup_{x\in \mathbb R^n\setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}.$$