Hace poco hice un examen final en mi escuela que contenía un problema interesante en el que me equivoqué. Como era un examen final, no recibí ningún comentario sobre por qué estaba mal, así que pensé en publicarlo aquí junto con mi enfoque para poder aprender de él.
El problema se presentó de la siguiente manera:
Una feria tiene entradas de $3$ competidores: $A$ , $B$ , $C$
$A$ poner en $15$ artículos, $4\%$ de $A$ han ganado el primer premio.
$B$ poner en $5$ artículos, $6\%$ de $B$ han ganado el primer premio.
$C$ poner en $10$ artículos, $3\%$ de $C$ han ganado el primer premio.¿Cuál es la posibilidad de que el competidor $A$ ¿ganará el primer premio?
Al interpretar el enunciado del problema, entendí que " $x\%$ de las entradas han ganado el primer premio" para significar " $x\%$ de entradas han ganado el Primer premio en el pasado". Además, he supuesto que sólo se concede un Primer premio.
Utilizando esta interpretación, la única forma que se me ocurrió para abordarlo fue aplicar la definición de probabilidad condicional para calcular la probabilidad de que $A$ gana el premio, dado que se otorga un único premio a cualquiera de los dos $A$ , $B$ o $C$ .
Utilizaré la notación $P(X)$ para denotar la probabilidad de que el concursante $X$ gana, y $P(X_e)$ para representar la probabilidad a priori de que una determinada entrada del concursante $X$ gana.
( Editar: Como se señala en la respuesta aceptada, lo siguiente es incorrecto como mínimo debido a que faltan coeficientes en cada término del numerador/denominador)
Así que, $P(A | A\lor B\lor C) =$
$\frac{P(A_e)*P(A_e')^{14}*P(B_e')^5*P(C_e')^{10}}{\left(P(A_e)*P(A_e')^{14}*P(B_e')^5*P(C_e')^{10}\right) + \left(P(A_e')^{15}*P(B_e)*P(B_e')^4*P(C_e')^{10}\right) + \left(P(A_e')^{15}*P(B_e')^5*P(C_e)*P(C_e')^{9}\right)} =$
$\frac{0.04*0.96^{14}*0.94^5*0.97^{10}}{\left(0.04*0.96^{14}*0.94^5*0.97^{10}\right) + \left(0.96^{15}*0.06*0.94^4*0.97^{10}\right) + \left(0.96^{15}*0.94^5*0.03*0.97^{9}\right)} \approx 0.30542$
Además de encontrar dónde me equivoqué, si alguien tiene consejos para razonar sobre problemas como éste y así poder estar más seguro de mis respuestas, se lo agradecería mucho.
Como este es mi primer post, por favor, hazme saber si estoy descuidando alguna de las reglas y lo arreglaré lo antes posible.
Gracias.
