Este es mi argumento (por alguna razón no me parece 100% correcto):
Por el teorema del valor medio, existe $\xi_{1}$ en $(a,b)$ tal que,
$$f'(\xi_{1}) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Desde entonces, $f'(a)=f'(b)=0$ entonces, por el teorema del valor medio de nuevo, existe $\xi_{2}$ en $(\xi_{1},b)$ tal que,
$$f''(\xi_{2})=\frac{f'(b)-f'(\xi_{1})}{b-\xi_{1}}=\frac{-(f(b) -f(a))}{(b-a)(b-\xi_{1})}$$
Desde $\xi_{1}$ no puede ser inferior a $a$ ,
$$f''(\xi_{2}) \geq \frac{-(f(b) -f(a))}{(b-a)^{2}} \, or\, f''(\xi_{2}) \leq \frac{f(b) -f(a)}{(b-a)^{2}} \leq \frac{4(f(b) -f(a))}{(b-a)^{2}}$$
$$Assuming\, f(b)\geq f(a)$$
Así que se deduce, $|f''(\xi_{2} )| \leq \frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ ?