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Si $f(x)$ es 2x diferenciable en $(a,b)$ & $f'(a)=f'(b)=0$ demostrar que.., $\exists\xi $ en $(a,b)$ S.T. $|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$

Este es mi argumento (por alguna razón no me parece 100% correcto):

Por el teorema del valor medio, existe $\xi_{1}$ en $(a,b)$ tal que,

$$f'(\xi_{1}) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Desde entonces, $f'(a)=f'(b)=0$ entonces, por el teorema del valor medio de nuevo, existe $\xi_{2}$ en $(\xi_{1},b)$ tal que,

$$f''(\xi_{2})=\frac{f'(b)-f'(\xi_{1})}{b-\xi_{1}}=\frac{-(f(b) -f(a))}{(b-a)(b-\xi_{1})}$$

Desde $\xi_{1}$ no puede ser inferior a $a$ ,

$$f''(\xi_{2}) \geq \frac{-(f(b) -f(a))}{(b-a)^{2}} \, or\, f''(\xi_{2}) \leq \frac{f(b) -f(a)}{(b-a)^{2}} \leq \frac{4(f(b) -f(a))}{(b-a)^{2}}$$

$$Assuming\, f(b)\geq f(a)$$

Así que se deduce, $|f''(\xi_{2} )| \leq \frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ ?

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user99914 Puntos 1

Como $f'(b) = f'(a)=0$ , hay $y\in (a, b)$ tal que $f''(y)=0$ .

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daulomb Puntos 1727

Tal vez pueda utilizar la fórmula de Taylor dos veces $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(c_1)(x-a)^2/2$ para algunos $c_1\in (a, x)$ y $f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+f''(c_2)(x-b.)^2/2$ para algunos $c_2\in (x, b)$ . Desde aquí puede obtener $f(b)-f(a)=f''(c_1)(a-b)^2/2$ y $f(b)-f(a)=-f''(c_2)(a-b)^2/2$ y añadiendo estos tienes $4(f(b)-f(a)=(f''(c_2)-f''(c_1))(a-b)^2$ y aplicar el MVT a $f''(x)$ en $(c_1, c_2)$ tener $f''(\xi)=\frac {f''(c_2)-f''(c_1)}{c_2-c_1}$ .

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