No todos los morfismos BG-->BH provienen de un homomorphism G-->H?

Question

Dado un homomorphism f:G→H entre suave algebraica de los grupos, se obtiene un inducida por homomorphism algebraico de pilas Bf:BG→BH, mediante la remisión de una G-torsor P sobre un esquema de X para el H-torsor Px^GH, cuyo (esquema teórico) puntos {(p,h)|p∈P,h∈H}/∼, donde (pg,h)∼(p,f(g)h).

Es cada morfismos algebraico de las pilas de BG→BH de la forma Bf? Si no, ¿qué es un ejemplo de una de morfismos no de esta forma?

Answer 1

Depende de la base del esquema y la topología que se utiliza. Por ejemplo, si estás trabajando sobre un campo k en el etale o el plano de topología, y tomar el grupo G triviales, usted está preguntando si H^1(k,H) es trivial, lo que es obviamente falso en general. Esto es, en un sentido, la única obstrucción: para cualquier esquema de base de S, dando un mapa de BG para cualquier pila Y (en pilas/S) es la misma como la especificación de un punto y de Y(S), y un homomorphism G -> Aut_S(y). En particular, si BH(S) conectado (es decir, si H^1(S,H) = *), entonces la respuesta a tu pregunta es positiva.

Answer 2

Bhargav dijo esto por primera vez en palabras diferentes, pero (por analogía con el homotopy imagen) que necesita tu mapa para ser punto de base-preservación. En particular, el punto correspondiente a la trivial de G-torsor debe tenerse en composición para el punto correspondiente a la trivial H-torsor. Una vez que está satisfecho, entonces el homomorphism G -> Aut_S(punto de referencia BH) es el homomorphism H.

Answer 3

Tomando Bhargav la respuesta a su conclusión lógica, se obtiene el siguiente resultado.

Si G, H y K son lisas, de los grupos de más de un esquema de base de S, entonces isomorfismo clases de morfismos BG→BH son dada por

Hom(BG,BH) = H¹(S,H) × Hom_gp(G,H)

con la composición de Hom(BH,BK) × Hom(BG,BH) → Hom(BG,BH) dada por

(Q,h) ^_s (P,f) = (Q + h_∗P, h, ^_oh, f).

Para ver esto, observe que una de morfismos de BG para cualquier pila de X consiste en un punto P ∈ X(S) y un grupo de homomorphism G→Aut_X(P). En el caso de X=BH, esto equivale a una elección de H-torsor P sobre S (es decir, un elemento de H¹(S,H)), que es la que envía el trivial de G-torsor a través de S, y un grupo de homomorphism f:G→Aut_X(P)=H.

Answer 4

Yo no soy un experto en este tema, así que por favor alguien me corrija si estoy equivocado, pero creo que la respuesta a esta pregunta es sí.

La pila de BG (resp. BH) está representado por el simplicial esquema también por lo general denota BG (resp. BH), que se obtiene cubriendo BG (resp. BH) por un punto y, a continuación, tomar el nervio de esta cubierta. A continuación, un mapa de BG \BH sólo debe ser administrado por un mapa de la correspondiente simplicial esquemas, que, en particular, incluye un mapa en el G \a H (estos son el 1-simplices). Sin embargo, creo que este mapa determina completamente el mapa BG \BH (esto debe tener algo que ver con el hecho de que BG y BH no tienen trivial homotopy grupos más allá de \pi_1, así que realmente sólo necesitamos trabajar con groupoids).