Utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver el mínimo

Question

Tengo problemas con una parte de esta tarea. Espero que alguien pueda ayudarme:

Encuentra los valores mínimos y máximos de la función $f(x,y)=x^2+y^2$ con sujeción a la restricción dada $x^4+y^4=18$ .

Utilizando los multiplicadores de Lagrange, puedo resolver fácilmente el máximo:

$f_x(x,y)=2x$ y $f_y(x,y)=2y$ .

Si llamamos a la segunda ecuación $g$ entonces: $g_x=4x^3$ y $g_y=4y^3$ .

Luego aplicamos el multiplicador de Lagrange:

$2x=\lambda 4x^3$ y $2y = \lambda 4y^3$

Resolviendo para $x$ y $y$ y conectarse a $g$ obtenemos $\lambda=1/\sqrt{36}=\pm1/6$ .

Para encontrar el máximo, utilizaré el positivo $1/6$ y resolver para $x^2=3$ y $y^2=3$ , lo que resulta en un máximo de $6$ , que el sistema escupe como correcto.

Para un mínimo, originalmente pensé $0$ porque $x^2$ y $y^2$ deben ser números positivos, pero eso no es correcto. Entonces me di cuenta de que como $x^2=1/(2\lambda)$ y $y$ también, entonces cuando $\lambda$ es negativo que sería el mínimo, resultando $-6$ , lo que tampoco es correcto.

En resumen, ¿cómo puedo encontrar el valor mínimo en este caso?

Gracias.

Answer 1

Cuando se resuelve para $\lambda$ utilizando los sistemas:

$\begin{cases} 2x = \lambda 4x^3 & (1) \\ 2y = \lambda 4y^3 & (2) \\ x^4 + y^4 = 18 & (3) \end{cases}$

Usted anula $x$ en (1) para obtener $x^2 = 1/(2\lambda)$ , te perdiste un caso que $x=0$ .

Si $x=0$ entonces $y^4 = 18$ , produce $y = \pm {18}^{\frac{1}{4}}$ .

El valor mínimo de $f(x,y)$ sería $\sqrt{18}$ , se produce en $(0,\pm {18}^{\frac{1}{4}})$ o $(\pm {18}^{\frac{1}{4}},0)$ .

Answer 2

$$\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^2+y^2-\lambda(x^4+y^4-18)$$ Tenemos $$\nabla \mathcal{L}(x,y,\lambda) = \left(\begin{array}{c}2x-4\lambda x^3\\2y-4\lambda y^3 \\ x^4+y^4-18 \end{array}\right).$$ Si lo ponemos a cero nos da $$\frac{1}{2\lambda}=x^2 \;\text{ -or- }\; x=0$$ y $$\frac{1}{2\lambda}=y^2 \;\text{ -or- }\; y=0$$ Claramente ambos $x$ y $y$ no pueden ser cero al mismo tiempo. Así que tenemos tres casos:

Caso 1) $$x^2=y^2=\frac{1}{2\lambda} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{4\lambda^2}+\frac{1}{4\lambda^2}=18 \;\Longrightarrow\; \lambda = \pm \frac{1}{6}.$$ Como la función es de $x^2$ y $y^2$ sólo necesitamos considerar uno de los dos casos; elijamos $\lambda=\frac{1}{6}$ lo que resulta en $$f(x,y)=x^2+y^2=\frac{1}{2\lambda}+\frac{1}{2\lambda}=6.$$

Caso 2) $$x=0, \qquad y^2=\frac{1}{2\lambda}$$ Introduciendo esto en la restricción obtenemos $$0+y^4=18\;\Longrightarrow\; \frac{1}{4\lambda^2}=18 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{72}=\lambda^2 \;\Longrightarrow\; \lambda = \pm \frac{1}{6\sqrt{2}}.$$ Esto da lugar a $$f(x,y)=x^2+y^2=0+\frac{1}{2\lambda}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.$$

El caso 3) es simétrico con el caso (2) ya que la función y la restricción son simétricas con respecto a. $x$ y $y$ .

Hemos enumerado todos los valores posibles de $f$ para que puedas ver fácilmente cuáles son los máximos y los mínimos. Tendrás que tener algo de cuidado si necesitas enumerar todos los minimizadores y maximizadores, ya que hay algunos casos y alguna simetría a tener en cuenta.

P.D., la mayúscula aceptada del apellido de Joseph-Louis Lagrange es con "g" minúscula. Esto es diferente de otras palabras similares, por ejemplo, LaGrange County, LaGrange College, etc. No puedo recomendar lo suficiente que se mantenga "Lagrange" en mayúsculas.

Answer 3

Tenga en cuenta que la función $ \ f \ $ es la función "distancia al cuadrado", medida desde el origen. Sus "ecuaciones de Lagrange" dan $ \ \lambda = \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{2y^2} \ \Rightarrow \ y^2 = x^2 \ . $ Si insertamos esto en la ecuación de la restricción, tenemos $ \ x^4 = 9 \ \Rightarrow \ x, y = \pm \sqrt{3} , $ que lleva a los resultados que ya has encontrado.

La ecuación que debería escribirse es $ \ 2x - 4 \lambda x^3 = 0 , $ para lo cual $ \ x = 0 \ $ también es una solución. (La otra ecuación de Lagrange conduce a $ \ y = 0 \ $ .) Hay cuatro puntos $ \ (0, \pm 18^{1/4} ) \ \text{and} \ ( \pm 18^{1/4} , 0 ) , $ que son los puntos del mínimo distancia al origen.

La ecuación de la restricción describe una "superelipse", cuya gráfica se muestra a continuación. Lo que se ha encontrado son los puntos de las diagonales, $ \ y = x \ \text{and} \ y = -x \ , \ (\pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{3} ) \ . $

[Parece que hay un poco de ilusión óptica aquí, ya que las intercepciones de los ejes son en realidad más cerca al origen que los puntos de la "esquina diagonal"].