Ecuación de Poisson con fuente estocástica

Question

En una configuración física, se puede considerar un problema electrostático en el que la densidad de carga en cada punto del espacio es una variable aleatoria, y tratar de encontrar el potencial eléctrico o el campo eléctrico. Para ser más concreto, consideremos una ecuación de Poisson $$\nabla^2\phi (\mathbf{r}) = - \rho (\mathbf{r})$$ con límites libres donde $\rho$ viene dado por un ruido blanco gaussiano no correlacionado, es decir $$\langle \rho(\mathbf{r}) \rangle = 0, \qquad\qquad\left\langle \rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}') \right\rangle = A \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').$$ Si escribo las soluciones en el espacio de Fourier, se ven como $\mathbf{q}^{-2} \rho(\mathbf{q})$ y en promedio el potencial es cero. Sin embargo, las correlaciones de $\phi$ a continuación, lea $$\langle \phi(\mathbf{q}) \phi(\mathbf{q}') \rangle = \frac{\langle \rho(\mathbf{q}) \rho(\mathbf{q}') \rangle}{\mathbf{q}^2 {\mathbf{q}'}^2} = \frac{A \, (2\pi)^d \delta(\mathbf{q}+\mathbf{q}')}{\mathbf{q}^4}.$$ Creo que no es una expresión bien definida debido a $q^{-4}$ término, y no puedo darle sentido. Mi conjetura es que esto se debe a que la densidad de carga $\rho$ puede asumir configuraciones en las que no está localizado en el espacio, e intentar resolver la ecuación de Poisson en ese escenario conduce a este fallo (similar a $\nabla^2 \phi = cnst.$ ).

Por otro lado, tales configuraciones deben ocurrir con una probabilidad de desaparición (es decir, que todo el espacio esté lleno de cargas es improbable) y por eso esperaría ingenuamente que no contribuyeran a las correlaciones. ¿Cómo puedo resolver esta aparente contradicción?

Answer 1

Si he entendido bien, los pasos de los cálculos son los siguientes:

Se comienza con la ecuación de Poisson $$ \nabla^2\phi (\mathbf{r}) = - \rho (\mathbf{r}) \\ $$ A continuación, tome la transformada de Fourier de la misma utilizando $f(\mathbf{q}) = \int f(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} d\mathbf{r}$ (sólo utilizando la misma notación para la función y su transformada; el argumento las separa), obteniendo $$ -\mathbf{q}^2\phi(\mathbf{q}) = -\rho(\mathbf{q}) \\ $$ Se resuelve esta ecuación obteniendo $$ \phi(\mathbf{q}) = \frac{\rho(\mathbf{q})}{\mathbf{q}^2} \\ $$

Entonces se forma el correlador $$ \left< \phi(\mathbf{q}) \phi(\mathbf{q}') \right> = \left< \frac{\rho(\mathbf{q})}{\mathbf{q}^2} \frac{\rho(\mathbf{q}')}{\mathbf{q}'^2} \right> = \frac{\left< \rho(\mathbf{q}) \rho(\mathbf{q}') \right>}{\mathbf{q}^2 \mathbf{q}'^2} $$ donde $$ \left< \rho(\mathbf{q}) \rho(\mathbf{q}') \right> = \left< \int \rho(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} d\mathbf{r} \int \rho(\mathbf{r'}) e^{-i\mathbf{q}'\cdot\mathbf{r}'} d\mathbf{r}' \right> = \iint \left< \rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r'}) \right> e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} e^{-i\mathbf{q}'\cdot\mathbf{r}'} d\mathbf{r} \, d\mathbf{r}' \\ = \iint A \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}} e^{-i\mathbf{q}'\cdot\mathbf{r}'} d\mathbf{r} \, d\mathbf{r}' = \int A e^{-i(\mathbf{q}+\mathbf{q}')\cdot \mathbf{r}} d\mathbf{r} = A (2\pi)^d \delta(\mathbf{q}+\mathbf{q}') $$

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Hay un error arriba. La solución de la ecuación $-\mathbf{q}^2\phi(\mathbf{q}) = -\rho(\mathbf{q})$ en realidad tiene un par de términos extra: $$ \phi(\mathbf{q}) = \frac{\rho(\mathbf{q})}{\mathbf{q}^2} + a\delta(\mathbf{q}) + \mathbf{b}\cdot \nabla\delta(\mathbf{q}), \\ $$ donde $a$ y $\mathbf{b}$ son constantes (escalar y vectorial respectivamente).

Sin embargo, no estoy seguro de que eso ayude.