Podría tener una bonita forma cerrada? $\int _0^1\int _0^1\frac{x y}{(x+1) (y+1) \log (x y)}\ dx \ dy$

Question

El uso de múltiples integrales no es difícil mostrar que el presente integral se reduce a algunos integral
sobre el cuadrado de la digamma funciones, pero entonces las cosas se vuelven más difíciles. ¿Cómo enfrentar el problema?

$$\int _0^1\int _0^1\frac{x y}{(x+1) (y+1) \log (x y)}\ dx \ dy$$

Answer 1

Sólo una nota. Podemos descomponer el integrando como la siguiente. $$ \frac{x y}{(x+1) (y+1) \log (x y)} = \frac{x}{(x+1)\log (x y)} - \frac{x}{(x+1) (y+1) \log (x y)} $$ Entonces nos damos cuenta de que $$ \int _0^1\int _0^1 \frac{x}{(x+1)\log (x y)} \, dx \ dy = \int_0^1 \frac{\operatorname{li}(x)}{x+1} \ dx $$ donde $\operatorname{li}$ es la logarítmica integral. Esta integral no tiene forma cerrada, como yo sé.

El resto del trabajo es encontrar una forma cerrada de la siguiente integral: $$\int _0^1\int _0^1\frac{x}{(x+1) (y+1) \log (x y)}\ dx \ dy.$$