Si $\mu$ es un cardinal infinito, existe una función $f:\mu\longrightarrow\mu$ tal que $f^{-1}[\alpha]$ es cofinal en $\mu$ para todos $\alpha\in\mu$ .

Question

En la prueba de la Proposición 4.3. (p. 36) de la edición revisada de Módulos casi gratuitos de P.C. Eklof y A.H. Mekler, se dice que siendo $\mu$ un cardinal infinito, ya que $\mu\cdot\mu=\mu$ existe una función $f:\mu\longrightarrow\mu$ tal que para todo $\alpha\in\mu$ , $f^{-1}[\alpha]$ es cofinal en $\mu$ . No veo por qué. ¿Podría alguien decírmelo?

Answer 1

Demuestra el siguiente lema:

Dejemos que $\alpha$ sea un cardinal infinito. Si $A\subseteq\alpha$ y $|A|=\alpha$ entonces $A$ es cofinal en $\alpha$ .

Ahora, como hay una biyección $g\colon\mu\to\mu^2$ definir $f(\alpha)=\pi_1(g(\alpha))$ , donde $\pi_1$ es la proyección sobre la primera coordenada.

Answer 2

Fijar una biyección $g:\mu\times \mu\to\mu$ , entonces el rango de $g$ en $\{\alpha\}\times \mu$ para cualquier $\alpha\in\mu$ es cofinal en $\mu$ Supongo que no fue así, entonces $g[\{\alpha\}\times\mu]\subset \lambda$ para algún cardenal $\lambda<\mu$ pero esto es imposible ya que $\big|g[\{\alpha\}\times \mu]\big|=|\mu|>|\lambda|$

Así que para formular $f:\mu\to\mu$ , envíe cualquier $\beta\in\mu$ a la $\alpha$ tal que $g(\alpha,\gamma)=\beta$ para algunos $\gamma$ .