Derivación de la ecuación espiral de la concha del Nautilus

Question

Supongamos que tengo que estimar la sección transversal de una concha de Nautilus, que es famosa por aproximarse a una espiral logarítmica, $r=ae^{b\theta}$ .

La sección transversal de esta espiral podría encontrarse integrando sobre la última revolución.

$$\frac{1}{2}\int_{6\pi}^{8\pi}r^2~d\theta$$

Pero me cuesta encontrar $a$ y $b$ . Podemos medir la anchura de la cáscara, $w$ a lo largo del eje horizontal, y la altura, $h$ a lo largo del eje vertical. ¿Cómo encontramos entonces $a$ y $b$ a través de $w$ y $h$ ?

Answer 1

Un método mejor es convertir el $\,(r,\theta)\,$ puntos de datos para hacer un ajuste lineal de $\, \log(r) = \log(a)+b\theta.\,$

Answer 2

Si el número total de rotaciones es de 4, tienes un conjunto de 2 ecuaciones aquí: $$w = a(e^{8\pi b} - e^{7\pi b})$$ $$h = a(e^{7.5\pi b} - e^{6.5\pi b})$$ El cálculo posterior de la resolución de $a$ y $b$ es trivial.