Demuestre que el teorema del intervalo anidado no se cumple para $\mathbb{Q}$

Question

Quiero demostrar que el teorema del intervalo anidado no se cumple para los números racionales.

Para ello quiero encontrar un cerrado y racional intervalo $I_n = [a_n,b_n] \cap \mathbb{Q}$ con $a_n,b_n \in \mathbb{Q}$ para que $\bigcap_{n=1}^\infty I_n = \{\sqrt{2}\}$ . Esto demostraría el reclamo, porque $\{\sqrt{2}\}$ está vacío en $\mathbb{Q}$ .

Pero tengo dificultades para encontrar un intervalo racional cerrado con puntos finales racionales. Quería elegir $I_n = [\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}] \cap \mathbb{Q}$ pero entonces los puntos finales no son racionales, ¿no? Y además el intervalo tiene que ser cerrado.

Answer 1

Utilice las fracciones continuas ( https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2#Continued_fraction_representation ):

$[1,1+\frac{1}{2}]$ , $[1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},1+\frac{1}{2}]$ , $[1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}]$ etc.

$a_n$ y $b_n$ son los convergentes de la expansión de la fracción continua de $\sqrt{2}$ y en cada paso sustituimos exactamente un de ellos por el siguiente convergente manteniendo el otro sin cambios.

Answer 2

$[1,2] $ , $[1.4,1.5] $ , $[1.41,1.42] $ , $[1.414,1.415] $ , $[1.4142,1.4143] $ etc.