¿Por qué los campos vectoriales paralelos se llaman paralelos?

Question

En la obra de Lee "Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature" dada una curva $\gamma:[a,b]\to M$ y un vector tangente $V_0\in T_{\gamma(t_0)}M$ , donde $t_0\in [a,b]$ , hay un dibujo de la traducción paralela de $V_0$ en la figura 4.7. Este campo vectorial paralelo parece estar dibujado de manera que es perpendicular a $\gamma$ en cada punto.

¿Existe una interpretación geométrica de por qué los campos vectoriales paralelos se llaman paralelos? ¿Por qué la traslación paralela se dibuja así?

Answer 1

Un campo vectorial $X$ a lo largo de una curva $\alpha$ es paralelo si $$\nabla_TX=0$$ Esta ecuación significa que el campo vectorial $X$ cambia a lo largo de $\alpha$ . Geométricamente, todos los valores de $X$ a lo largo de $\alpha$ parece ser paralela.