Pesos más altos o positivos (o raíces)

Question

Dejemos que $T= (\mathbb{C}^*)^2$ estar incrustado en $GL_2$ a lo largo de sus entradas diagonales, y supongamos $T$ actúa sobre $M_2(\mathbb{C})$ a través de la conjugación. Denote $\chi_i(g)=z_i$ donde $$g = \left( \begin{array}{cc} z_1 & 0 \\ 0 & z_2 \\ \end{array}\right).$$

Entonces tenemos una descomposición del espacio de pesos de $M_2(\mathbb{C})$ :

$$M_2(\mathbb{C}) = \underbrace{\mathbb{C}\cdot E_{12}}_{\mbox{weight } \chi_1\chi_2^{-1} } \oplus \underbrace{\mathbb{C}\cdot E_{21}}_{\mbox{weight }\chi_1^{-1}\chi_2} \oplus \underbrace{ \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{array} \right) : a, b \in \mathbb{C}\right\} }_{\mbox{weight } 0}$$ donde $E_{ij}$ está en $M_2(\mathbb{C})$ con un 1 en el $(i,j)$ -entrada y ceros en el resto.

¿Cómo se determina cuál es el peso más alto o positivo? O es posible que esté entendiendo mal los pesos con las raíces; ¿están relacionados?

Cuando me refiero a las raíces, pienso en las que surgen en los sistemas de raíces.

Añadido Por favor, siéntase libre de imponer cualquier orden no canónico en los pesos anteriores si no existe una opción canónica.

Pregunta añadida En qué condiciones o circunstancias habría una elección canónica sobre los pesos para poder determinar el peso más alto? Cualquier ejemplo sencillo estaría bien.

Gracias.

Answer 1

Usted tiene un grupo de mentiras $G=GL(2,\mathbb C)$ con un toroide máximo elegido $T$ actuando sobre su álgebra de Lie $M_2(\mathbb C)$ por conjugación (la representación adjunta de $G$ ), por lo que las raíces son precisamente los pesos no nulos $\alpha=\chi_1\chi_2^{-1}$ y $\beta=\chi_1^{-1}\chi_2$ (considerados como caracteres de $T$ , es decir, morfismos de grupos algebraicos $T\to\mathbb C^\times$ ). Obsérvese que como el grupo $\mathrm{Hom}(T,\mathbb C^\times)$ de todos los caracteres es isomorfo a $\mathbb Z^n$ (aquí $n=2$ ), se acostumbra a escribir los caracteres de forma aditiva y no multiplicativa: $\beta=-\alpha$ en lugar de $\beta=\alpha^{-1}$ y de hecho $\alpha= \chi_1-\chi_2$ en lugar de $\alpha=\chi_1\chi_2^{-1}$ .

Para dar sentido a las nociones de "raíz positiva" y a la de "mayor peso" derivada de ella, es necesario elegir entre un número finito (aquí $2$ ) de posibilidades, convenientemente encarnadas por la elección de un subgrupo de Borel $B$ de $G$ que contiene $T$ . Aquí las dos opciones posibles son la del grupo de matrices triangulares superiores en $G$ y el grupo de matrices triangulares inferiores; es convencional elegir las superiores. Una vez hecho esto, las raíces cuyo subespacio de raíces se encuentra en el álgebra de Lie de $B$ se denominan positivas y las otras negativas. Aquí el subespacio de la raíz $E_{1,2}$ yacen en esa álgebra de Lie, por lo que $\alpha$ se considera positivo, y $\beta=-\alpha$ negativo. Así, $\alpha$ es también el mayor peso de la representación adjunta (pero la representación adjunta no es siempre una representación de mayor peso). En general, un peso de una representación es un peso máximo si todos los demás pesos pueden obtenerse a partir de él restando (un conjunto de) raíces positivas.