El principio de incertidumbre de Heisenberg afirma que:
$$\sigma(x)\sigma( p_x )\ge \frac {\hbar}{2}.$$
¿Cuál es la prueba científica de este principio? Operadores Incertidumbre
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El principio de incertidumbre, en la formulación de la varianza, establece que en cualquier estado cuántico $|\rangle$ la cantidad
$$\langle (p-<p>)^2 \rangle \langle (x-\langle x\rangle)^2\rangle \ge {\hbar^2 \over 4} $$
Para entender por qué al desplazar p y x por su valor esperado y elevar al cuadrado se obtiene la incertidumbre al cuadrado, véase esta respuesta .
La prueba consiste en observar lo siguiente
$$ |\langle \psi | \eta \rangle| \le \sqrt{ ||\psi||^2 ||\eta||^2}$$
Se trata de la afirmación de que el producto-punto de dos vectores es menor que el producto de sus longitudes. Se denomina "desigualdad de Cauchy Schwartz". Para el caso especial anterior, definiendo los operadores $P= p-\langle p\rangle$ y $Q=x-\langle x\rangle$ (y cuadrando ambos lados),
$$ ( \langle P Q \rangle )^2 \le \langle PP\rangle\langle QQ\rangle $$
Donde para ver que lo anterior es una instancia de Cauchy Schwarz, toma:
$$ |\psi\rangle = P|\rangle$$ $$ |\eta\rangle = Q|\rangle$$ Mientras que el producto PQ puede descomponerse en una parte real y otra imaginaria
$$ PQ = {1\over 2} (PQ+QP) + {1\over 2} (PQ-QP) $$
La primera parte es imaginaria, porque si se toma el conjugado hermitiano, cambia de signo. La segunda parte es real (esto se debe, en última instancia, a que P y Q son reales, es decir, hermitianos). El valor esperado de PQ al cuadrado es el cuadrado de las partes imaginaria y real por separado
$$ (\langle P Q \rangle)^2 = {1\over 4} (\langle [P,Q]\rangle)^2 + {1\over 4}(\langle PQ+QP)\rangle)^2 $$
Como ambas cosas al cuadrado son positivas, esto significa que el lado izquierdo es mayor que un cuarto del cuadrado del conmutador. El conmutador no se modifica por el desplazamiento,
$$ [P,Q] = [p,x] = \hbar $$
De modo que
$$ \langle P^2 \rangle \langle Q^2\rangle \ge (\langle PQ \rangle)^2 \ge {1\over 4} (\langle [P,Q] \rangle)^2 = {\hbar^2 \over 4} $$
La demostración se suele dar en una sola línea, como directamente arriba, donde el paso de Cauchy Schwarz (primera desigualdad), la descomposición parte imaginaria/parte real (segunda desigualdad) y las relaciones de conmutación canónicas desplazadas (última igualdad) se suponen interiorizadas por el lector.
Esta prueba aparece en Wikipedia, se utiliza en todos los libros de QM, pero quizás esta explicación sea más clara.
MRA
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Una gran variedad de experimentos, de los cuales el Experimento de la doble rendija es la más dramática, puede utilizarse para establecer que la materia se representa mejor como una onda en escalas microscópicas. Una vez que se representa la materia como una onda, es natural asociar su posición con la propagación de la onda, y su momento con la longitud de onda de la misma. Sin embargo, una vez que se hace esto, debería quedar claro que hay un compromiso entre una "localización" bien definida de la onda y una "longitud de onda" bien definida de la misma. Por lo tanto, no se puede definir simultáneamente con precisión la posición y el momento de una partícula. La precisión adicional en una de ellas debe ir acompañada de una pérdida de precisión en la otra.
Sander Mangel
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No estoy seguro de lo que quiere decir con prueba científica . Una hipótesis puede ser validado por método científico . No es prueba como en las matemáticas. Porque la física no se ocupa de ideas matemáticas abstractas que puedan ser probado siguiendo algunos axiomas y reglas predefinidas. Lo cual no tiene nada que ver con observación .
Si el principio de incertidumbre se toma como una verdad, entonces el fenómeno físico relativo a las partículas subatómicas puede explicarse y hasta cierto punto predecirse mediante el marco de la mecánica cuántica.
Haes
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Para un observable $A$ , escriba $\langle A\rangle$ para el valor esperado de $A$ y $\Delta A$ para su desviación estándar (de modo que $\langle A\rangle$ y $\Delta A$ ambos dependen del estado actual $\phi$ ). Si $\langle A\rangle=0$ entonces $\Delta A=\langle A^2\rangle$ .
Ahora, dados dos observables $A$ y $B$ , ajústalo así $\langle A\rangle=\langle B\rangle=0$ . Sea $\phi$ sea el estado actual y $x$ un número real arbitrario.
Entonces $$\eqalign{ 0\phantom{3}\le\phantom{3}&\Big\langle (A+ixB)\phi,(A+ixB)\phi\Big\rangle \cr &= \overline{\phi} A^2 \phi + x^2 \overline{\phi} B^2 \phi -ix\overline{\phi} BA \phi +ix \overline{\phi} AB\phi \cr &= \langle A^2\rangle +x \langle i[A,B]\rangle + x^2 \langle B^2\rangle \cr}$$ Esto es válido para todos los reales $x$ por lo que la cuadrática en la última línea no tiene ningún ceros reales o un doble cero; en cualquier caso, el discriminante es no positivo: $$\langle i[A,B]\rangle ^2 - 4\langle A^2\rangle \cdot \langle B^2\rangle \phantom{3} \le\phantom{3}0$$ según sea necesario.
