Dejemos que $\{C_i\}_{i=1}^N$ sea un conjunto de $n\times m$ matrices reales de rango de columna completo y tales que $\mathrm{Range}[C_1,C_2,\dots,C_N]=\mathbb{R}^n$ , $\{P_i\}_{i=1}^N$ un conjunto de $m\times m$ matrices reales definidas positivas. Además, dejemos que $Q>0$ sea una variable positiva definida $n\times n$ matriz real tal que $Q\in\mathrm{Range}\,\mathcal{C}$ , donde $\mathcal{C}$ es el operador lineal $$ \mathcal{C}\colon A\mapsto \sum_{i=1}^N C_i A C_i^\top. $$
Considere la siguiente ecuación en la variable desconocida $X\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $$\tag{$ \N - La estrella $}\label{a} \sum_{i=1}^N C_i(C_i^\top X C_i)^{-\frac{1}{2}}P_i(C_i^\top X C_i)^{-\frac{1}{2}}C_i^\top=Q. $$ (Aquí, $A^{\frac{1}{2}}$ denota la raíz cuadrada de la matriz principal de $A\ge 0$ .)
Mi pregunta: ¿Admite siempre \eqref{a} una solución definida positiva $\bar{X}>0$ ?
Obsérvese que para el caso particular $P_i=I_m$ , $i=1,2,\dots,N$ se reduce a $$\tag{$ |star $}\label{aa} \sum_{i=1}^N C_i(C_i^\top X C_i)^{-1}C_i^\top=Q. $$ En este caso, tengo algunas pruebas para creer que la respuesta es afirmativa. Sin embargo, el caso general sigue siendo oscuro para mí.
EDITAR. Como Noah Stein observó correctamente en su respuesta más abajo, la respuesta es negativa para un $Q>0$ . Sin embargo, me he dado cuenta de que he olvidado un supuesto fundamental en mi pregunta, que ahora he añadido.
