Operador casi Mathieu en el caso irracional: demostrar que el espectro no depende de la fase

Question

Consideremos el operador Casi-Mathieu $H(\theta)$ definido para cualquier $u \in \ell^2(\mathbb{Z})$ por $$ [H(\theta)\,u]_n = u_{n+1} + u_{n-1} + 2 \lambda \cos \big[2\pi (\alpha n + \theta)\big]\, u_n. $$ Me gustaría demostrar que si $\alpha$ es irracional, entonces $\sigma(H(\theta))$ El espectro de $H(\theta)$ no depende de la fase $\theta$ .

Hasta ahora, sé que $\theta \mapsto H(\theta)$ es $1$ -periódico, y que $H(\theta + \alpha)$ es unitariamente equivalente a $H(\theta)$ . Más concretamente, $$ H(\theta + 1) = H(\theta) \quad \text{and} \quad H(\theta) = \tau^{-1}\; H(\theta)\; \tau,$$ donde $\tau$ denota el desplazamiento $(u_n) \mapsto (u_{n+1})$ . Combinando esto con un argumento de inducción nos lleva a $$ \sigma(H(\theta)) = \sigma(H(\theta + k\alpha + l)), \quad \forall\, k, l \in \mathbb{Z}. $$ A partir de aquí la idea sería utilizar Teorema de aproximación de Kronecker que garantiza la existencia de una secuencia $(k_n, l_n)$ tal que $|k_n \alpha + l_n + \theta - \theta'| \to 0$ para cualquier $\theta'$ . Sin embargo, no sé cómo utilizar esto para demostrar que $\sigma(H(\theta)) = \sigma(H(\theta'))$ .

Utilizando lo anterior y la definición del conjunto resolvente, intenté demostrar que si la ecuación $(H(\theta) - E)u = f$ admite una solución única, entonces también lo hace la ecuación $(H(\theta') - E)u = f$ . Aunque podría demostrar la existencia, tengo problemas para demostrar la unicidad.

Todos los artículos que he encontrado mencionan este resultado en sus introducciones como algo obvio y conocido. Cualquier ayuda o referencia a una prueba sería muy apreciada.

Answer 1

Siguiendo el consejo de PhoemueX, me encontré con Teoría de la Perturbación de Kato para Operadores Lineales, Teorema V-4.10 : " Para cualquier operador autoadjunto $T$ y para cualquier operador simétrico acotado $A$ la suma $S = T + A$ también es autoadjunto y $\ \text{dist}(\sigma(S), \sigma(T)) \leqslant \|A\|$ . " (*)

Como $\alpha$ es irracional, el teorema de Kronecker implica que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $(k, l) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ tal que la diferencia $|k \alpha + l + \theta - \theta'|$ es lo suficientemente pequeño como para satisfacer $$ \|H(\theta + k \alpha + l) - H(\theta')\| \leqslant \varepsilon. $$ Desde $H(\theta)$ es autoadjunto, (*) conduce a $$ \text{dist}\big[\sigma(H(\theta + k \alpha + l)),\; \sigma(H(\theta'))\big]\leqslant \varepsilon. $$ Además, como $\sigma(H(\theta + k \alpha + l)) = \sigma(H(\theta))$ la estimación anterior se convierte en $$ \text{dist}\big[\sigma(H(\theta)),\; \sigma(H(\theta'))\big]\leqslant \varepsilon. $$ Esta última desigualdad es cierta para cualquier $\varepsilon > 0$ se deduce que $\sigma(H(\theta)) = \sigma(H(\theta'))$ que es el resultado deseado.