Pregunta: Dejemos que $S \subset \mathbb{R}$ . Considere la afirmación :
"Existe una función continua $f : S \to S $ tal que $f(x) \neq x $ para todos $x \in S$ "
Esta afirmación es falsa si $S$ es igual a :
A) $[2,3]$ B) $(2,3]$ C) $[-3,-2] \cup [2,3]$ D) $(-\infty, \infty)$
Mi enfoque:
Puedo comprobar que para las opciones C) y D), existen funciones continuas $f : S \to S$ que satisfacen los criterios.
Para C), que $f(x)=-x$ entonces $f:S \to S$ y $f(x) \neq x $ para todos $ x \in S$ Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
Para D), dejemos que $f(x)=x+1$ lo que hace que la afirmación sea claramente cierta.
En el caso de la opción A), visualizo la función como cualquier curva continua que esté encerrada entre las líneas $x=2, x=3$ y $y=2, y=3$ . Claramente, tiene que cortar la línea $y=x$ por lo que para cada $f$ Hay una $x \in S$ tal que $f(x)=x$ y, por tanto, la afirmación es falsa. 
[Las curvas rojo-azul-verde dibujadas a mano en el cuadrado son ejemplos de funciones continuas $f: [2,3] \to [2,3]$ que se ha demostrado que ha recortado la $y=x$ línea]
Sin embargo, la misma línea de razonamiento no logra discernir la sutil diferencia entre la opción A) y la opción B).
Por lo tanto, estoy confundido entre las opciones A) y B). ¿Cómo influye la diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado en la falsedad de la afirmación?
