Dominio de una función continua

Question

Pregunta: Dejemos que $S \subset \mathbb{R}$ . Considere la afirmación :

"Existe una función continua $f : S \to S$ tal que $f(x) \neq x$ para todos $x \in S$ "

Esta afirmación es falsa si $S$ es igual a :

A) $[2,3]$ B) $(2,3]$ C) $[-3,-2] \cup [2,3]$ D) $(-\infty, \infty)$

Mi enfoque:

Puedo comprobar que para las opciones C) y D), existen funciones continuas $f : S \to S$ que satisfacen los criterios.

Para C), que $f(x)=-x$ entonces $f:S \to S$ y $f(x) \neq x$ para todos $x \in S$ Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Para D), dejemos que $f(x)=x+1$ lo que hace que la afirmación sea claramente cierta.

En el caso de la opción A), visualizo la función como cualquier curva continua que esté encerrada entre las líneas $x=2, x=3$ y $y=2, y=3$ . Claramente, tiene que cortar la línea $y=x$ por lo que para cada $f$ Hay una $x \in S$ tal que $f(x)=x$ y, por tanto, la afirmación es falsa.

[Las curvas rojo-azul-verde dibujadas a mano en el cuadrado son ejemplos de funciones continuas $f: [2,3] \to [2,3]$ que se ha demostrado que ha recortado la $y=x$ línea]

Sin embargo, la misma línea de razonamiento no logra discernir la sutil diferencia entre la opción A) y la opción B).

Por lo tanto, estoy confundido entre las opciones A) y B). ¿Cómo influye la diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado en la falsedad de la afirmación?

Answer 1

Dejemos que $f:[2,3]\to [2,3]$ y $g:x\mapsto f (x)-x$ .

$f$ es continua en el compacto $S=[2,3]$ entonces $g$ es continua.

$$g (2)=f (2)-2\ge 0$$ $$g (3)=f (3)-3\le 0$$ por lo que, según la IVT, existe $c\in S \;:g (c)=0$ .

Dejemos que $F:(2,3]\to (2,3]$ definido por $$F (x)=1+\frac {x}{2}$$

entonces $$(\forall x\in (2,3])\;\; F (x)\neq x$$

Answer 2

Para B considere $f(x)=2+\frac12(x-2)$ . Esto evita la intersección que debe producirse en el caso A, empujándola al punto que falta $2$ .