Regularización de división de puntos para polinomios de operadores

Question

La regularización por separación de puntos en la teoría cuántica de campos utiliza el hecho de que las divergencias UV que se producen en expresiones del tipo $\left< \phi \left( x \right) \phi \left( x \right) \right>$ se puede regular escribiendo esto como $\left< \phi \left(x+\epsilon \right) \, \phi \left(x \right) \right>$ .

Mi pregunta es ahora, si conocéis algún esquema que implemente la técnica de división de puntos para polinomios de operadores de campo, es decir, algo como $\left< \sum_{n=1}^N a_n \, \phi {\left(x\right)}^n \right>$ o incluso para las funciones generales de los operadores de campo $\left< f \left( \phi \left(x \right) \right) \right>$ o funcionales generales $\left< F \left[ \phi \right] \right>$ ?

Por supuesto, podría pensar en algún método de fuerza bruta para implementar dicho esquema, pero básicamente me gustaría ver un artículo en el que se presente y utilice algo así de forma razonable.

Answer 1

El libro de texto " Teoría de las cuerdas ", de Joseph Polchinski, primer volumen utiliza la regularización por división de puntos y un esquema de sustracción mínima adecuado para preservar la simetría conformacional de un $d=2$ Teoría del Campo Conforme (es decir, preservando el hecho de que la traza del tensor energía-momento renormalizado $T_{a}\,^{a}$ es cero).

El prerrequisito es sólo los fundamentos de la QFT, y la integral de trayectoria. El libro en sí contiene un apéndice para llenar un eventual vacío. No es matemáticamente riguroso, y es muy intuitivo.

Todo esto se presenta al principio del capítulo 2, sección 2.1, y se desarrolla más en el capítulo 3, sección 3.4 y 3.6. Recomiendo leer todo el capítulo 2 y 3 en aras de la exhaustividad. Creo que estos dos capítulos darán una imagen muy intuitiva sobre el tema. A lo largo de todos estos capítulos aplica la regularización del punto de división a polinomios de $\phi(x)$ e incluso derivados $\partial_a\phi(x)$ . Porque la teoría es $d=2$ , $\phi(x)$ no tiene dimensión, por lo que existe la posibilidad de que operadores como $e^{i\phi(x)}$ . Polchinski renormaliza los polinomios de $e^{i\phi(x)}$ también.

Sólo algunos comentarios para agilizar la lectura de estos capítulos:

• La fuente de divergencia de $\langle \mathcal{T}\left[\phi(x)\phi(y)\right]\rangle$ , como $x\rightarrow y$ se debe a que estamos tomando el ordenamiento temporal de los operadores que no conmuta para los intervalos de tiempo, como se puede ver aquí . Esto significa que esta divergencia está relacionada con la ambigüedad de ordenación de $\phi(x)$ y $\phi(y)$ . El operador de ordenación del tiempo $\mathcal{T}$ cambiar esta ambigüedad de ordenación por una divergencia.

• La división de los puntos domina esta divergencia manteniendo todos los puntos separados. A continuación, anulamos todas las divergencias que se derivan de cada par de $\phi(x)$ y $\phi(y)$ cuando $x\rightarrow y$ . Una vez restadas todas las divergencias, volvemos a unir todos los puntos. Esto dará el operador renormalizado, lo que Polchinski llama "operadores normales ordenados". Lo llama así ya que, en algunas teorías, se puede demostrar que esos operadores renormalizados son lo mismo que poner los operadores de aniquilación a la derecha y los de creación a la izquierda (la ordenación normal habitual).

• En el capítulo 3 utiliza la regularización de separación de puntos para las QFT en espacios curvos (hoja del mundo curvada), preservando el difeomorfismo. Demuestra que no hay manera de preservar la simetría de Weyl (es decir $\left[ {T_a}^{a}\right]_{\text{Rernomalized}} \neq 0$ ) si $c \neq 0$ y $R \neq 0$ hay una anomalía. En la regularización por sustracción de puntos, las identidades de Ward pueden ser violadas por la regularización. Cuando no hay un esquema de sustracción que restablezca la identidad de Ward, existe una anomalía en esa teoría.