¿La suma de Darboux es una función de Darboux?

Question

Estuve pensando los últimos días en el siguiente problema: ¿la suma de Darboux es una función de Darboux?

¿Conoce alguna prueba o contraejemplo?

Answer 1

No, esto no es cierto, ya que las funciones de Darboux son realmente una clase general de funciones, se puede demostrar que se puede escribir cualquier (realmente cualquier) función de valor real como la suma de dos funciones de Darboux, mira aquí

El ejemplo de dicha función del enlace es, con $$\omega(x)=\limsup_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i$$ donde $x\in(0,1)$ tiene la expansión diádica $x=0.a_1 a_2 \dots$ $\omega$ toma todos los valores entre $0$ y $1$ en cualquier subintervalo de $(0,1)$ y tiene la propiedad de valor intermedio. Ahora denotamos $$g(x)=\begin{cases} 0 & \omega (x)=x\\ \omega(x) & \text{else}\\ \end{cases}$$ Esta función sigue teniendo la propiedad de valor intermedio pero $h(x)=g(x)-x$ no tiene la propiedad de valor intermedio.

La prueba es aquí en la página 6 el teorema 4.1

Answer 2

Hay un ejemplo más sencillo. Dejemos que $g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea dada por

$$g(x)=\begin{cases} {\sin x^{-1}} & x \neq 0 \\ 1 & x=0\\ \end{cases}$$

$$h(x)=\begin{cases} {-\sin x^{-1}} & x \neq 0 \\ 0 & x=0\\ \end{cases}$$

Estos son Darboux. Sin embargo,

$$g(x) + h(x) =\begin{cases} 0 & x \neq 0 \\ 1 & x=0\\ \end{cases}$$

no lo es.