Composición de mapas holomorfos y haz normal

Question

Sea $X$, $Y$ y $Z$ sean variedades suaves y $$ X\xrightarrow{~f~}Y\xrightarrow{~g~}Z $$ sean dos embeddings componibles. Se pueden considerar los haces normales $N_{X/Y}\to X$ y $N_{Y/Z} \to Y$ y el haz normal $N_{X/Z} \to X$ de la composición.

Sabemos:

$N_{X/Z} \cong N_{X/Y} \oplus f^*N_{Y/Z}$ en este contexto suave, pero la prueba (hasta donde sé) utiliza descomposiciones. ¿En qué medida funciona esto en la categoría holomorfa? Específicamente, ¿funciona para aplicaciones diagonales $\Delta: X \rightarrow X \times X$ y sus composiciones iterativas? ($\Delta: X \times X \xrightarrow{id \times \Delta} X \times X \times X$ etc.)

Answer 1

Explota un punto en una superficie. El haz normal de la recta proyectiva allí tendrá un sumando de grado negativo.

Inserta la superficie en un espacio proyectivo. El haz normal de la recta proyectiva allí no tendrá un sumando de grado negativo.