Dejemos que $A$ es no singular y cada valor propio de $A$ es $+1$ o $-1$ .por qué $A$ es similar a ${A^{ - 1}}$ ?

Question

Dejemos que $A \in {M_n}$ es no singular y cada valor propio de $A$ es $+1$ o $-1$ .por qué $A$ es similar a ${A^{ - 1}}$ ?

Answer 1

Ecuación característica de la matriz $A$ es de la forma $(x-1)^a(x+1)^b$ . Al ser producto de factores lineales, es similar a una matriz en forma de Jordan. Se puede continuar desde aquí

Answer 2

Los valores propios de $A^{-1}$ son los recíprocos de los valores propios de $A$ . Por definición, las matrices similares tienen los mismos valores propios.

La prueba de que $A^{-1}$ y $A$ tienen los mismos valores propios es simple: $$Ax=\lambda x \iff A^{-1}Ax = A^{-1} \lambda x \iff \frac{1}{\lambda} x = A^{-1}x$$