Representación de Hermite

Question

Puede alguien decirme cómo puedo encontrar la representación hermite de la función $x^2-c$ ? Y sería muy interesante, si alguien pudiera decirme una buena fuente sobre la representación de Hermite de una función general $f$ ? Muchas gracias. Tal vez debería añadir "mi" definición de los polinomios de Hermite: $H_{0}(x)=1$ y $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^{n}}{d^{n}x}\left(e^{-\frac{-x^2}{2}}\right)$ Lamentablemente no encuentro ninguna fuente útil sobre los polinomios de Hermite.

Answer 1

La siguiente relación de recurrencia es equivalente a su definición,

$$ H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) - 2n H_{n-1}(x) .$$

Usando esta relación, $H_{-1}=0$ y $H_0 = 1$ podemos calcular los primeros polinomios:

$$ H_0 = 1,$$ $$ H_1 = 2x,$$ $$ H_2 = 4x^2 - 2.$$

Ahora supongamos que queremos el siguiente polinomio reescrito en términos de polinomios de Hermite,

$$ 5x^2-2x+4 \qquad \text{(1)}.$$

Comenzamos con la mayor potencia de $x$ y trabajar hacia abajo. Para conseguir una $5x^2$ Necesitaría $5/4$ de $H_2$ que es $$ \frac{5}{4} H_2 = 5x^2 - \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{4} H_2 + \frac{5}{2} = 5x^2 $$

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (1) obtenemos

$$ H_2 + \frac{5}{2} - 2x + 4 $$

$$ H_2 - 2x + \frac{13}{2} \qquad \text{(2)} $$

Ahora manejamos la siguiente potencia más baja de $x$ que es la primera potencia de $x$ . Tenemos que reescribir $2x$ en términos de polinomios de Hermite y en este caso resulta ser igual a $H_1$ . Sustituyendo $H_1$ en (2) nos da,

$$ H_2 - H_1 + \frac{13}{2} \qquad \text{(3)} $$

Creo que el término constante debería ser obvio teniendo en cuenta $H_0=1$ .

$$ H_2 - H_1 + \frac{13}{2}H_0 \qquad \text{(4)} $$

Así que el patrón es:

1. Si $x^n$ es la mayor potencia de $x$ utilice $H_n$ para eliminarlo.
2. Repita el paso 1. hasta que todas las potencias de $x$ están agotados.

Las expansiones de Hermite de otras funciones suelen realizarse utilizando su propiedad de ortogonalidad. En el espacio de las funciones cuadradas integrables en la recta real se cumple lo siguiente,

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n H_n(x) e^{-x^2/2} $$

$$\Rightarrow c_n = \int_{-\infty}^\infty f(x) H_n(x) e^{-x^2/2} dx$$

Estas integrales pueden calcularse mediante un método denominado cuadratura de Gauss.

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Los siguientes son recursos que contienen información relacionada con los polinomios ortogonales.

Tiene un capítulo entero dedicado a los polinomios ortogonales,

"Abromowitz y Stegun, Manual de funciones matemáticas"

http://apps.nrbook.com/abramowitz_and_stegun/index.html

Esto tiene más información sobre los polinomios ortogonales. En particular, se analiza su uso en la realización de la cuadratura gaussiana.

"Recetas numéricas en Fortran/C"

http://apps.nrbook.com/fortran/index.html