Operación de permutaciones sobre funciones

Question

Dejemos que $P$ sea el grupo aditivo de los mapeos de $\mathbf{Z}^n$ a $\mathbf{Z}$ . Para $f \in P$ y $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ (el grupo simétrico de grado $n$ ) deje que $\sigma f$ sea el elemento de $P$ definido por $$\sigma f(z_1,\dots,z_n) = f(z_{\sigma(1)},\dots,z_{\sigma(n)}).$$ ¿No es cierto que si $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_n$ tenemos $$(\tau(\sigma f))(z_1,\dots,z_n) = \sigma f(z_{\tau(1)},\dots,z_{\tau(n)}) = f(z_{\sigma\tau(1)},\dots,z_{\sigma\tau(n)}) = (\sigma\tau)f(z_1,\dots,z_n)?$$ El libro dice que $\tau(\sigma f) = (\tau\sigma) f$ .

Answer 1

(Lo he editado porque mi anterior respuesta era errónea)

Es cierto que $$\left(\tau\left(\sigma f\right)\right)\left(z_1,\dots,z_n\right)=\left(\sigma f\right)\left(z_{\tau(1)},\dots,z_{\tau(n)}\right)$$ Sin embargo, debemos tener cuidado; multiplicamos $\sigma f$ por $\tau$ . Desde $$\left(\sigma f\right)\left(z_1,\dots,z_n\right)=f\left(z_{\sigma(1)},\dots,z_{\sigma(n)}\right)$$ Multiplicando por $\tau$ da $$\left(\tau\left(\sigma f\right)\right)\left(z_1,\dots,z_n\right)=f\left(z_{\tau\sigma(1)},\dots,z_{\tau\sigma(n)}\right)$$

Answer 2

Una forma de disolver la confusión aquí es pensar en ello de esta manera. Un punto $(z_1,...,z_n)$ es una función $z:\{1,...,n\}\to Z$ . Por lo tanto, el punto $(z_{\sigma(1)},...,z_{\sigma(n)})$ es la composición $z\circ \sigma$ . Ahora podemos pensar en el dominio de $f$ como el conjunto de funciones $$Z^n\simeq \{z:\{1,...,n\}\to Z\}\;,$$ y de esta manera se puede reescribir la acción en $f$ evaluado en un punto $z$ mediante la precomposición por $\sigma$ . $$\sigma f (z_1,...,z_n)=(\sigma f)(z):=f(z \circ \sigma).$$ Entonces \begin{eqnarray} \tau(\sigma f)(z_1,...,z_n) &=& \tau(\sigma f)(z) \\ &:=& (\sigma f)(z \circ \tau) \\ &:=& f ((z\circ \tau)\circ \sigma) \\ &=& f (z\circ (\tau\circ \sigma)) \\ &=:& (\tau \sigma)f(z) \\ &=& (\tau \sigma) f(z_1,...,z_n) \end{eqnarray}

Nota:

Gracias a Malice Vidrine por señalar algunos errores en el post original.

Editado por Randy Randerson:

Por definición, $\mathbf{Z}^n$ es el conjunto de funciones $z = (z_1,\dots,z_n)$ de $\{1,\dots,n\}$ a $\mathbf{Z}$ . Una permutación $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ mapas $\{1,\dots,n\}$ en $\{1,\dots,n\}$ . Por lo tanto, $z \circ \sigma \in \mathbf{Z}^n$ . Por definición $(\sigma f)(z) = f(z \circ \sigma)$ Así que $\tau(\sigma f) = (\tau \sigma)f$ como se muestra en su respuesta.