¿Cuándo puede diagonalizarse el operador de curvatura de una variedad riemanniana (M,g) mediante una base de la siguiente forma?
'{${E_i\wedge E_j }$}' donde '{${E_i}$}' es una base ortonormal del espacio tangente? Si la variedad es tridimensional, entonces siempre es posible. Pero, ¿qué pasa con los casos de dimensiones superiores?
No tengo conocimiento de ningún tratamiento sistemático de esta cuestión. Sin embargo, hay dos ejemplos estándar.
1) Si $(M,g)$ es una hipersuperficie en una variedad de curvatura constante, entonces su operador de curvatura viene dado por $R=A\wedge A-kI$ donde $I$ es la identidad y $A$ es la segunda forma fundamental. Entonces si $e_i$ diagonaliza $A$, $e_i\wedge e_j$ diagonaliza $R$.
2) Otro ejemplo son las métricas simétricas rotacionales en $\mathbb{R}\times S^n$, la prueba se puede encontrar en Geometría riemanniana de Petersen.
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