Si existe un polinomio mónico $p(x)\in R[x]$ de grado $\geq 1$ tal que el ideal $(p(x))$ es máxima, entonces $R$ es un campo.

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con identidad. Demostrar que si existe un polinomio mónico $p(x)\in R[x]$ de grado $\geq 1$ tal que el ideal $(p(x))\subset R[x]$ es máxima, entonces $R$ es un campo.

Mi intento: Entiendo que desde $(p(x))$ es un ideal máximo, entonces $R[x]/(p(x))$ es un campo. También entiendo que $p(x)$ debe ser irreducible, si no, si $p(x)=g(x)h(x)$ entonces el ideal $(p(x))$ no puede ser máxima, ya que está contenida en $(g(x))$ .

Trabajando con esto, quiero mostrar que para cada elemento $x\in R$ existe alguna $y$ tal que $xy=1$ . Estoy pensando que puedo usar un mapa de $R$ a $R[x]/(p(x))$ y de alguna manera demostrar que el producto $xy$ se asigna a la identidad. Sin embargo, no estoy del todo seguro de esto, ¿es una buena dirección?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia Supongamos que $\,0\ne r\in R.\,$ Desde $p$ es mónico no puede dividir un polinomio de grado menor no nulo, por lo que $\,p\nmid r,\,$ así que $(p)$ max $\,\Rightarrow (p,r) = 1\,$ $\Rightarrow$ $\, pf + r q =1\, $ $\Rightarrow$ $\,p\mid 1\!-\!rq\,$ $\Rightarrow$ $\,p\mid 1\!-\!r\bar q,\,$ $\,\bar q = q\bmod p.\,$ $\,1\!-\!r\bar q$ tiene menor grado que $p\,$ así que $\,r\bar q = 1,\,$ así que $\,r\bar q(0) = 1.\,$ Así, $\,r\neq 0\,\Rightarrow\, r\,$ es invertible.