El número de elementos de orden 2 en un grupo infinito

Question

Acabo de demostrar que para |G| finito, el número de elementos de orden 2 es impar. Pero, ¿qué pasa con el caso |G| infinito?

(Aquí se supone que el conjunto de elementos de orden 2 es no vacío).

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el conjunto de elementos de $G$ de orden $2$ y supongamos que $X$ es finito. Entonces el subgrupo $H=\langle X \rangle$ de $G$ generado por $X$ es finito, por lo que si $X$ es no vacía, entonces $|X|$ debe ser impar.

Para ver esto, observe que, como la clase de conjugación de cualquier $x \in X$ es finito, el índice $|G:C_G(x)|$ es finito y, por tanto, como $X$ es finito, $|G:C_G(X)|$ es finito, por lo que $H/Z(H)$ es finito. Pero entonces, por un resultado de Schur, el subgrupo conmutador $H'$ de $H$ es finito y, como el grupo abeliano $H/H'$ está generada por elementos de orden $2$ también es finito, y por lo tanto también lo es $H$ .

Answer 2

Dejemos que $t$ sea un elemento de orden $2$ en $G$ y asumir que el número de elementos de orden $2$ es finito. Basta con demostrar que $\{x \in G: x^2 = 1\}$ contiene un número par de elementos. Para ello, se puede emparejar cada $x \in C_G(t)$ con $xt$ y cada $x \not\in C_G(t)$ con $txt^{-1}$ .