Cómo se puede evaluar $$\lim_{n\to\infty} \frac{\left( \prod_{k=1}^n (n^2+k^2) \right)^{1/n}}{n^2}?$$ No he podido encontrar ningún truco para hacer el cálculo.
Respuesta
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$$\frac{\left( \prod_{k=1}^n (n^2+k^2) \right)^{1/n}}{n^2}=\frac{\left( \prod_{k=1}^n (n^2(1+\frac{k^2}{n^2}) \right)^{1/n}}{n^2}= \frac{n^2 \left( \prod_{k=1}^n (1+\frac{k^2}{n^2} \right)^{1/n}}{n^2}$$
$$\log\frac{n^2 \left( \prod_{k=1}^n (1+\frac{k^2}{n^2} \right)^{1/n}}{n^2}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\log (1+\frac{k^2}{n^2})$$
$$\int_0^1 \log(1+x^2)dx =\lim \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\log (1+\frac{k^2}{n^2})$$ La última integral se puede evaluar por partes: es igual a $-2 + \frac{\pi}{2}+\log(2)\approx 0.2639435$ .
