extensión de la propiedad de un conjunto a sus generados $\sigma$ -Álgebra

Question

Teorema : Supongamos que $(\Omega,\mathcal{F})$ es un espacio medible y que $c \subset \mathcal{F}$ es tal que

1. $c$ contiene $\Omega$ .
2. $c$ es cerrado bajo la intersección.(es decir $A \cap B \in c$ , si $A,B \in c$ )

Si $\mu$ y $v$ son un par de medidas finitas sobre $(\Omega,\mathcal{F})$ y $\mu(A)=v(A)$ para cada $A \in c$ entonces $\mu(A)=v(A)$ para cualquier $A \in \sigma(c)$ .

Demuestra este teorema.

He intentado construir una $\mathcal{F_1}=\{A \subset \mathbb{R}|\mu(A)=v(A)\}$ . Si $\mathcal{F_1}$ es un $\sigma$ -entonces el teorema se puede demostrar fácilmente. Es evidente, $\mathcal{F_1}$ es cerrado bajo complementario y $\phi,\Omega \in \mathcal{F_1}$ .

Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que $\mathcal{F_1}$ es contablemente aditivo. Pero no sé cómo demostrarlo ni cómo utilizar la segunda propiedad de $c$ .

Answer 1

Respuesta parcial: Basta con demostrar que $\mathcal{F}_1$ es cerrado bajo uniones finitas.

Para demostrar que el conjunto es cerrado bajo uniones contables observe que si $A_1,A_2,...\in \mathcal{F}_1$ son disjuntos entonces $$\mu(\bigcup A_n ) = \sum_n \mu(A_n) = \sum_n \nu(A_n) = \nu(\bigcup A_n)$$

Ahora dejemos que $A_1,A_2,...,$ un número contable de conjuntos en su familia (no necesariamente disjuntos).

A continuación, considere los siguientes conjuntos

Dejemos que $A_1' = A_1$ y por inducción dejemos que $A_i' = A_i \backslash \bigcup_{j=1}^{i-1} A_i$

por aditividad finita se obtiene que todo $A_i'$ están en su conjunto, también son disjuntos y $\bigcup_{i=1}^\infty A_i = \bigcup_{i=1}^\infty A_i'$ . Esto completa la prueba asumiendo que se sabe que la familia es cerrada bajo uniones finitas.

Para los sindicatos finitos no sé qué hacer. Pero observa que usando una prueba por inducción es suficiente mostrar que si $A$ y $B$ están en $\mathcal{F}$ entonces $A\cup B$ está en $\mathcal{F}$ . Desde $\mu(A\cup B) = \mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)$ basta con demostrar que $\mathcal{F}$ es cerrado bajo intersecciones finitas.