Demostrar que si $Y$ es una variable aleatoria discreta con $P(Y\geq 0)=1$ entonces si $a>0$ es una constante, $E(Y)\geq aP(Y\geq a)$

Question

Demostrar que si $Y$ es una variable aleatoria discreta con $P(Y\geq 0)=1$ entonces si $a>0$ es una constante, $E(Y)\geq aP(Y\geq a)$

Así que sé $E(Y)=\sum_y yp_y(y)$

Y entonces rompí la suma en los términos mayor que y menor que $a$ .

$$=\sum_{y\geq a} yp_Y(y) +\sum_{Y<a}yp_Y(y)$$ $$\geq \sum_{y\geq a} y p_Y(y)$$ $$\geq\sum_{y\geq a} ap_Y(y)=aP(Y\geq a)$$ Desde $y\geq a$

No he utilizado el hecho de que $P(Y\geq 0)=1$ sin embargo. Así que creo que debe haber un error en esto o me he perdido donde tenía que usar ese dato.

Answer 1

Usted hizo utilice $\mathbb{P}(Y\geq 0)=1$ en su prueba porque

$$ \sum_{y\geq a} y\mathbb{P}(Y=y)+\sum_{y< a} y\mathbb{P}(Y=y)\geq \sum_{y\geq a} y\mathbb{P}(Y=y) $$ sólo es cierto si $\sum_{y< a} y\mathbb{P}(Y=y)\geq 0$ que no es a priori verdadera si la suma contiene términos negativos.

Sin embargo, tienes razón en que la desigualdad de Markov es cierta para un $a$ tan pronto como $\mathbb{E} 1_{Y< a} Y\geq 0$ (y si esto es cierto para cada $a$ Entonces, necesariamente, $Y$ debe ser positivo).